Công Cụ Tính Diện Tích Hình Phẳng & Thể Tích Tròn Xoay Bằng Tích Phân

Máy tính phía trên giải hai dạng ứng dụng tích phân trong chương trình Toán 12. Ở tab thứ nhất, công cụ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong (hoặc một đường cong và trục hoành). Nếu bạn để trống hai cận, công cụ tự giải phương trình hoành độ giao điểm. Sau đó nó xét dấu f(x) − g(x) trên từng khoảng để bỏ dấu trị tuyệt đối. Ở tab thứ hai, công cụ tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox: khai triển [f(x)]², tìm nguyên hàm, thế cận rồi nhân với π. Kết quả ghi ở dạng đúng kèm số thập phân và hình vẽ vùng được tính.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

Dấu trị tuyệt đối có mặt vì phần đồ thị nằm dưới trục hoành vẫn tạo ra diện tích dương. Nếu bỏ dấu này khi f đổi dấu, các phần trên và dưới trục sẽ triệt tiêu nhau.

Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong

Cho hai hàm số f, g liên tục trên [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a và x = b là:

Trường hợp một đường cong và trục hoành chính là trường hợp g(x) = 0. Trong máy tính, ô Đường cong 2 để mặc định bằng 0 cho dạng này.

Cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối

1. Giải phương trình f(x) − g(x) = 0, giữ các nghiệm c1 < c2 < … nằm trong (a; b).
2. Các nghiệm chia đoạn thành nhiều khoảng. Trên mỗi khoảng, hiệu f(x) − g(x) không đổi dấu.
3. Đưa trị tuyệt đối ra ngoài từng tích phân, hoặc xét dấu để bỏ hẳn trị tuyệt đối:

Khi đề không cho x = a, x = b, hình phẳng được giới hạn chỉ bởi hai đường cong. Lúc đó hai cận là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). Để trống hai ô cận trong máy tính, công cụ sẽ tự làm bước này.

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a và x = b quanh trục Ox. Mặt cắt vuông góc với Ox tại hoành độ x là hình tròn bán kính |f(x)|, diện tích S(x) = π f²(x). Lấy tích phân diện tích mặt cắt:

Vì đã bình phương, không cần xét dấu của f. Nếu quay hình phẳng giữa hai đường y = f(x), y = g(x) không cắt nhau và cùng dấu trên đoạn, thể tích là V = π∫|f² − g²| dx, không phải π∫(f − g)² dx.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Hình phẳng giữa parabol và đường thẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = x + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm: x² − x − 2 = 0, x = −1 hoặc x = 2. Trên (−1; 2), x² − x − 2 < 0, nên:

Ví dụ 2. Hàm số đổi dấu trên đoạn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 2x, trục hoành, x = 0 và x = 3.

Ta có x² − 2x = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. Trên (0; 2) hàm số âm, trên (2; 3) hàm số dương:

Nếu tính thẳng tích phân từ 0 đến 3 bằng 0 mà không xét dấu, ta sẽ nhận một kết quả sai.

Ví dụ 3. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi y = √x

Quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục hoành, x = 0, x = 4 quanh Ox:

Ví dụ 4. Thể tích khối cầu bán kính 2

Nửa đường tròn y = √(4 − x²) trên [−2; 2] quay quanh Ox tạo thành khối cầu:

Kết quả trùng với công thức V = (4/3)πR³ khi R = 2.

Ví dụ 5. Hàm lượng giác, dùng công thức hạ bậc

Quay hình phẳng giới hạn bởi y = sin x, trục hoành, x = 0, x = π quanh Ox:

Những lỗi hay gặp

1. Bỏ dấu trị tuyệt đối khi hàm số đổi dấu. Ví dụ tích phân của sin x từ 0 đến 2π bằng 0, nhưng diện tích thật bằng 4.
2. Lấy sai cận khi đề không cho x = a, x = b. Cận phải là hoành độ giao điểm của hai đường, không phải giao điểm với trục tung.
3. Quên bình phương hoặc quên nhân π trong công thức thể tích. Công thức đúng là V = π∫f²(x) dx.
4. Dùng (f − g)² khi quay hình phẳng giữa hai đường. Phải lấy hiệu hai bình phương |f² − g²|.
5. Hàm số không liên tục trên đoạn. Ví dụ y = 1/x trên [−1; 1]; công thức tích phân thông thường không áp dụng được.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích hình phẳng giữa hai đường cong là gì?

Nếu f và g liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a và x = b bằng tích phân từ a đến b của trị tuyệt đối của f(x) trừ g(x).

Làm sao bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong tích phân tính diện tích?

Giải phương trình f(x) − g(x) = 0 để tìm các nghiệm trong khoảng (a; b). Các nghiệm chia đoạn thành nhiều khoảng mà trên đó hiệu không đổi dấu. Trên khoảng hiệu dương giữ nguyên, trên khoảng hiệu âm đổi dấu, rồi cộng các tích phân lại.

Đề không cho x = a, x = b thì lấy cận thế nào?

Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). Cận dưới là nghiệm nhỏ nhất, cận trên là nghiệm lớn nhất. Các nghiệm ở giữa dùng để chia đoạn khi xét dấu.

Công thức thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox là gì?

Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a và x = b quanh trục Ox thì thể tích bằng pi nhân tích phân từ a đến b của f(x) bình phương.

Khi tính thể tích có cần xét dấu của f(x) không?

Không cần, vì f(x) đã được bình phương nên luôn không âm. Chỉ cần f liên tục trên đoạn [a; b]. Còn khi tính diện tích thì bắt buộc phải xét dấu để bỏ trị tuyệt đối.