Công Cụ Khảo Sát Hàm Số & Vẽ Đồ Thị Chi Tiết – Chuẩn SGK 12
Chọn đúng dạng trong sách giáo khoa Toán 12, nhập hệ số, rồi xem tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và đồ thị.
Máy tính phía trên khảo sát bốn dạng hàm số trong chương trình Toán 12: bậc ba, bậc bốn trùng phương, phân thức bậc nhất trên bậc nhất, và phân thức bậc hai trên bậc nhất. Lời giải đi đúng bốn bước: tập xác định, sự biến thiên, bảng biến thiên và đồ thị. Các điểm cực trị được đánh dấu trên hình, các đường tiệm cận được vẽ nét đứt.
Sơ đồ bốn bước khảo sát
Một bài khảo sát hàm số viết theo thứ tự sau.
- Tập xác định. Với đa thức, D = ℝ. Với phân thức, loại giá trị làm mẫu số bằng 0.
- Sự biến thiên. Tính y′, giải y′ = 0, xét dấu y′ để kết luận đồng biến và nghịch biến. Tính tung độ các điểm cực trị. Tính giới hạn ở biên của tập xác định và tìm tiệm cận.
- Bảng biến thiên. Dựng bảng ba dòng x, y′ và y. Dòng y′ ghi +, − hoặc 0. Dòng y dùng mũi tên đi lên khi đồng biến và mũi tên đi xuống khi nghịch biến.
- Đồ thị. Vẽ các đường tiệm cận trước, rồi vẽ nhánh cong qua các điểm cực trị, đúng với chiều mũi tên trong bảng.
Tiệm cận đứng, ngang và xiên
Đường x = x0 là tiệm cận đứng nếu ít nhất một giới hạn một phía của y bằng +∞ hoặc −∞. Với y = (ax + b)/(cx + d), đường đứng là x = −d/c, miễn là tử không cùng triệt tiêu tại đó.
Đường y = y0 là tiệm cận ngang nếu lim y khi x → +∞ hoặc x → −∞ bằng y0. Phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận ngang y = a/c.
Đường y = mx + k, với m khác 0, là tiệm cận xiên khi hiệu y − (mx + k) tiến về 0 lúc x tiến ra vô cực. Với y = (ax² + bx + c)/(dx + e) và a, d khác 0, phép chia đa thức cho phần nguyên bậc nhất. Phần nguyên đó chính là tiệm cận xiên. Đa thức không có tiệm cận.
Bảng biến thiên nói điều gì?
Mỗi cột mốc của dòng x là −∞, +∞, một nghiệm của y′ = 0, hoặc một điểm mẫu số bằng 0. Giữa hai mốc, dấu của y′ không đổi. Mũi tên đi lên nghĩa là hàm đồng biến trên khoảng đó, mũi tên đi xuống nghĩa là nghịch biến.
Nếu y′ đổi từ dương sang âm khi đi qua x0 thì điểm (x0; f(x0)) là cực đại. Nếu đổi từ âm sang dương thì đó là cực tiểu. Nếu y′ bằng 0 nhưng không đổi dấu, điểm đó không phải cực trị. Hai vạch đứng trong bảng đánh dấu điểm bị loại khỏi tập xác định. Giá trị +∞ hoặc −∞ đặt ở hai đầu mũi tên cho biết đồ thị đi lên cao hay xuống thấp khi tiến tới biên.
Dạng đồ thị thường gặp
| Dạng | Đặc điểm đồ thị |
|---|---|
| y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0 | Một nhánh trên ℝ. Nếu y′ có hai nghiệm thì có một cực đại và một cực tiểu. Hai đầu đồ thị đi về vô cực trái dấu nhau. |
| y = ax⁴ + bx² + c, a ≠ 0 | Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Hai đầu cùng về +∞ nếu a dương, cùng về −∞ nếu a âm. |
| y = (ax + b)/(cx + d) | Hai nhánh, hyperbol. Một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Không có cực trị nếu ad − bc khác 0. |
| y = (ax² + bx + c)/(dx + e) | Hai nhánh bám tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Có thể có một cực đại và một cực tiểu ở hai nhánh khác nhau. |
Ví dụ định hướng
Bạn có thể đối chiếu ngay trên máy tính với bốn bộ hệ số sau.
- Bậc ba: y = x³ − 3x. Ta có y′ = 3x² − 3, cực đại (−1; 2), cực tiểu (1; −2).
- Trùng phương: y = x⁴ − 2x² + 1. Cực tiểu tại x = ±1, cực đại tại x = 0.
- Bậc nhất trên bậc nhất: y = (2x + 1)/(x − 1). Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2, hàm nghịch biến trên mỗi khoảng.
- Bậc hai trên bậc nhất: y = (x² + 1)/(x − 1). Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = x + 1.
Những lỗi hay gặp
- Quên loại nghiệm của mẫu khỏi tập nghiệm của y′ = 0. Điểm không thuộc tập xác định không được ghi là cực trị.
- Ghi tiệm cận ngang cho hàm bậc ba. Đa thức bậc lẻ tiến ra vô cực trái dấu ở hai đầu, không có tiệm cận ngang.
- Nhầm chiều mũi tên. y′ dương thì mũi tên đi lên, dù tung độ đang âm.
- Vẽ liền một nét qua tiệm cận đứng. Hai nhánh của phân thức phải tách tại đường đứng.
Câu hỏi thường gặp
Bốn bước khảo sát hàm số theo sách giáo khoa là gì?
Bước 1 tìm tập xác định. Bước 2 xét sự biến thiên: đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị, giới hạn và tiệm cận. Bước 3 lập bảng biến thiên. Bước 4 vẽ đồ thị.
Làm sao phân biệt cực đại và cực tiểu?
Đi qua nghiệm của y phẩy bằng 0, nếu đạo hàm đổi từ dương sang âm thì đó là cực đại. Nếu đổi từ âm sang dương thì đó là cực tiểu. Nếu đạo hàm không đổi dấu thì không có cực trị tại điểm đó.
Tiệm cận đứng, ngang và xiên khác nhau thế nào?
Tiệm cận đứng là đường x bằng hằng số, thường là nghiệm của mẫu số. Tiệm cận ngang là đường y bằng hằng số, bằng giới hạn của hàm tại vô cực. Tiệm cận xiên là đường y bằng mx cộng k với m khác 0, gặp ở phân thức bậc hai trên bậc nhất.
Bảng biến thiên đọc như thế nào?
Dòng x ghi các mốc. Dòng y phẩy ghi dấu cộng, dấu trừ và số 0. Dòng y dùng mũi tên đi lên khi hàm đồng biến và mũi tên đi xuống khi hàm nghịch biến, kèm tung độ cực trị hoặc vô cực ở hai đầu mũi tên.
Hàm bậc ba có tiệm cận không?
Hàm đa thức, trong đó có hàm bậc ba và hàm trùng phương, không có tiệm cận đứng, ngang hay xiên. Tiệm cận xuất hiện ở các hàm phân thức khi mẫu số có thể bằng 0 hoặc khi bậc tử không thấp hơn bậc mẫu theo cách tạo ra một giới hạn hữu hạn hay một phần nguyên bậc nhất.