Công Cụ Tính Hoán Vị, Chỉnh Hợp & Tổ Hợp Từng Bước

Máy tính phía trên tính hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp theo công thức sách giáo khoa. Lời giải viết công thức, thay n và k, rồi khử giai thừa chung trước khi nhân các thừa số còn lại. Phép tính dùng số nguyên lớn nên không bị tràn khi n tăng, trong giới hạn n không quá 100 để bài giải vẫn đọc được.

Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Hai quy tắc này đứng trước mọi công thức đếm.

Quy tắc cộng. Nếu một việc có thể làm theo hai phương án loại trừ nhau, phương án thứ nhất có m cách và phương án thứ hai có n cách, thì có m + n cách. Ví dụ: từ nhà đến trường đi xe đạp theo 2 đường hoặc đi bộ theo 3 đường, tổng cộng 5 cách, vì không vừa đạp xe vừa đi bộ.

Quy tắc nhân. Nếu một việc gồm nhiều bước liên tiếp, bước một có m cách và với mỗi cách đó bước hai có n cách, thì có m × n cách. Hình cây ở trên là quy tắc nhân: 3 lựa chọn đầu tiên, rồi 2 lựa chọn còn lại.

Hoán vị

Hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp thứ tự toàn bộ n phần tử đó. Phần tử đầu có n cách chọn, phần tử thứ hai còn n − 1 cách, cứ thế đến phần tử cuối còn 1 cách:

Quy ước 0! = 1. Nhờ đó, công thức tổ hợp vẫn đúng khi k = 0: chỉ có một cách không chọn phần tử nào. Với n = 1 thì P₁ = 1.

Chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử khác nhau rồi xếp thứ tự. Công thức SGK:

Sau khi khử (n − k)!, tử còn đúng k thừa số:

Điều kiện: n và k là số nguyên không âm, k ≤ n. Khi k = n, chỉnh hợp chính là hoán vị. Khi k = 0, Aₙ⁰ = 1.

Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử, không kể thứ tự. Nhóm {A, B} và nhóm {B, A} chỉ tính một lần. Công thức SGK:

Mỗi tổ hợp ứng với k! chỉnh hợp, vì k phần tử đã chọn có k! cách xếp. Vì vậy:

Hai hệ quả hay dùng: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, và Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1.

Khi nào dùng công thức nào?

Bài tập mẫu

Bấm Ví Dụ Mẫu trên máy tính để thấy đúng các phép khử dưới đây. Với tổ hợp và chỉnh hợp, mẫu là n = 8, k = 3. Với hoán vị, mẫu là n = 5.

Ví dụ 1. Tổ hợp

Chọn 3 bạn trong nhóm 8 bạn để làm một tổ, không phân biệt vai. Đây là tổ hợp.

Giai thừa 5! được khử vì 8! = 8 × 7 × 6 × 5!. Không cần nhân hết 8! rồi mới chia.

Ví dụ 2. Chỉnh hợp

Chọn 3 bạn trong 8 bạn rồi xếp vào ba chức vụ khác nhau: trưởng, thư ký, thủ quỹ. Có kể thứ tự.

Cùng một nhóm 3 bạn nhưng có 3! = 6 cách giao chức vụ, nên 56 × 6 = 336.

Ví dụ 3. Hoán vị

Xếp 5 học sinh khác nhau thành một hàng.

Những lỗi hay gặp

1. Dùng tổ hợp cho bài có thứ tự. Bầu ba chức vụ khác nhau là chỉnh hợp, không phải tổ hợp.
2. Quên điều kiện k ≤ n. Không chọn 5 phần tử từ một tập chỉ có 4 phần tử.
3. Tính hết giai thừa lớn rồi chia. Khử thừa số chung trước. Máy tính cũng làm theo hướng đó để tránh số trung gian khổng lồ không cần thiết.
4. Nhầm 0!. 0! bằng 1, không bằng 0. Nếu coi 0! = 0 thì mẫu số của Cₙ⁰ bị triệt tiêu.

Câu hỏi thường gặp

Tổ hợp khác chỉnh hợp ở điểm nào?

Tổ hợp không kể thứ tự, chỉnh hợp có kể thứ tự. Mỗi nhóm k phần tử ứng với k! cách xếp, nên A_n^k bằng C_n^k nhân k!.

Vì sao 0 giai thừa bằng 1?

Quy ước 0! = 1 để công thức vẫn đúng khi k = 0. C_n^0 = 1 vì chỉ có một cách không chọn phần tử nào, đó là tập rỗng.

Khi nào dùng hoán vị?

Khi cần xếp thứ tự toàn bộ n phần tử khác nhau, ví dụ xếp n người thành một hàng. Số cách là P_n = n!.

Nếu k lớn hơn n thì sao?

Không chọn được nhiều phần tử hơn số phần tử đang có. Điều kiện của cả tổ hợp và chỉnh hợp là k không lớn hơn n. Công cụ sẽ báo lỗi thay vì cho ra một kết quả.

Có cần tính hết giai thừa rồi mới chia không?

Không. Hãy khử giai thừa chung ở tử và mẫu, rồi nhân các thừa số còn lại. Cách này trùng với kết quả số nguyên lớn của máy tính và tránh các tích trung gian không cần thiết.