Công Cụ Tính Số Trung Bình, Trung Vị, Mốt & Tứ Phân Vị

Máy tính phía trên đọc một dãy số, sắp xếp không giảm, rồi tính bốn nhóm số đặc trưng đo xu thế trung tâm: số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị và mốt. Dữ liệu mẫu 8; 6,5; 9; 7; 8; 10; 7,5; 9; 8 được giải sẵn trong bài và trên nút Dữ Liệu Mẫu.

Số trung bình cộng

Số trung bình cộng của N số x₁, x₂, …, xₙ là tổng chia cho cỡ mẫu:

Trung bình dùng mọi giá trị, nên phản ánh toàn bộ dãy. Một số quá lớn hoặc quá nhỏ kéo trung bình về phía nó. Vì vậy trung bình hợp với dãy tương đối đều, và kém ổn khi có giá trị ngoại lai.

Trung vị

Sắp xếp dãy theo thứ tự không giảm: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ. Trung vị Mₑ là giá trị đứng giữa.

• Nếu N lẻ, Mₑ là số ở vị trí thứ (N + 1)/2.
• Nếu N chẵn, Mₑ là trung bình cộng của hai số ở vị trí thứ N/2 và thứ N/2 + 1.

Trung vị chỉ phụ thuộc vị trí, không phụ thuộc độ lớn của số ở hai đầu. Khi dãy có điểm rất cao hoặc rất thấp, trung vị mô tả “mức giữa” tốt hơn trung bình. Ví dụ điểm của một lớp có một bài 10 và nhiều bài quanh 5: trung bình bị kéo lên, trung vị vẫn nằm trong nhóm đông.

Tứ phân vị

Ba mốc Q1, Q2, Q3 chia dãy đã sắp thành bốn phần, mỗi phần có số số liệu xấp xỉ nhau. Q2 chính là trung vị Mₑ.

Cách làm trong công cụ này theo sách giáo khoa: Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên. Nếu N lẻ, số trung vị không được đưa vào hai nửa. Nếu N chẵn, nửa dưới là N/2 số đầu và nửa trên là N/2 số cuối.

Khoảng từ Q1 đến Q3 chứa khoảng một nửa số liệu ở giữa. Khoảng này ít bị số ngoại lai làm méo hơn là khoảng từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn nhất.

Mốt

Mốt Mₒ là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Nếu nhiều giá trị khác nhau cùng giữ tần số cao nhất, dãy có nhiều mốt. Nếu mọi giá trị khác nhau đều xuất hiện cùng số lần, ta nói dãy không có mốt. Một dãy chỉ gồm một giá trị lặp lại thì giá trị đó là mốt.

Mốt dùng được cả với dữ liệu không phải số, chẳng hạn màu sắc hay mã câu trả lời. Trung bình và trung vị thì cần dữ liệu số, và trung bình còn cần phép cộng có nghĩa.

Bài tập mẫu

Cho dãy 8; 6,5; 9; 7; 8; 10; 7,5; 9; 8.

Cỡ mẫu N = 9. Sắp xếp: 6,5 ≤ 7 ≤ 7,5 ≤ 8 ≤ 8 ≤ 8 ≤ 9 ≤ 9 ≤ 10.

N lẻ, số chính giữa là số thứ 5, nên Mₑ = 8. Nửa dưới, không kể trung vị, là 6,5; 7; 7,5; 8. Trung vị của nửa này là trung bình của 7 và 7,5, nên Q1 = 7,25. Nửa trên là 8; 9; 9; 10, nên Q3 = 9. Giá trị 8 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn mọi giá trị khác, nên Mₒ = 8.

Ở dãy này trung bình, trung vị và mốt nằm gần nhau. Nếu đổi số 10 thành 30, trung bình tăng mạnh còn trung vị và mốt vẫn là 8. Đó là lúc nên báo cáo thêm trung vị.

Những lỗi hay gặp

1. Tìm số giữa trước khi sắp xếp. Trung vị và tứ phân vị luôn lấy trên dãy đã sắp không giảm.
2. Với N lẻ, vẫn nhét số trung vị vào cả hai nửa. Công cụ này không làm vậy. Số giữa chỉ là Q2.
3. Gọi mọi số là mốt khi mỗi số xuất hiện một lần. Lúc đó các tần số bằng nhau và dãy không có mốt.
4. Làm tròn trung bình quá sớm. Hãy giữ phân số, ví dụ 73/9, rồi mới viết dạng thập phân.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào nên dùng trung vị thay cho số trung bình?

Khi dãy có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ làm trung bình bị kéo lệch. Trung vị chỉ phụ thuộc vị trí ở giữa sau khi sắp xếp, nên mô tả mức giữa ổn định hơn.

Cỡ mẫu chẵn thì trung vị tính thế nào?

Sắp xếp dãy không giảm, rồi lấy trung bình cộng của hai số đứng giữa, tức số ở vị trí N/2 và số ở vị trí N/2 + 1.

Q1 và Q3 được lấy ra sao?

Q2 là trung vị của cả dãy. Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên. Nếu N lẻ, số trung vị không được đưa vào hai nửa.

Khi nào nói dãy không có mốt?

Khi mọi giá trị khác nhau đều xuất hiện cùng một số lần. Nếu chỉ một giá trị có tần số cao nhất thì giá trị đó là mốt. Nếu vài giá trị cùng tần số cao nhất thì dãy có nhiều mốt.

Số trung bình có luôn là một số nằm trong dãy không?

Không. Trung bình là tổng chia cho cỡ mẫu, có thể là một phân số nằm giữa các số liệu. Với dãy mẫu trong bài, trung bình là 73/9 trong khi các số liệu là những giá trị khác.