Công Cụ Tính Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc, Kỳ Vọng E(X) & Phương Sai V(X)

Máy tính phía trên nhận một bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Trước khi tính, công cụ kiểm tra tổng các xác suất có bằng 1 hay không. Nếu bảng hợp lệ, lời giải đi đúng bốn bước của sách giáo khoa Toán 12: kỳ vọng E(X), E(X²), phương sai V(X) và độ lệch chuẩn σ(X).

Bảng phân bố hợp lệ

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hữu hạn giá trị x₁, x₂, …, x_n với các xác suất p_i = P(X = x_i). Bảng chỉ được dùng khi:

• Mỗi p_i thỏa 0 ≤ p_i ≤ 1.
• Các giá trị x_i khác nhau. Nếu một giá trị lặp lại, cộng các xác suất của nó vào một cột.
• Tổng xác suất bằng 1.

Nếu tổng khác 1, kỳ vọng và phương sai tính ra không còn là đặc trưng của một phân bố xác suất. Máy tính dừng ở bước kiểm tra và yêu cầu soát lại số liệu.

Bốn bước tính theo SGK

Bước 1. Kỳ vọng. Đây là giá trị trung bình của X theo phân bố:

Bước 2. Trung bình của bình phương.

Bước 3. Phương sai. Công thức rút gọn, tránh phải tính từng độ lệch x_i − E(X):

Bước 4. Độ lệch chuẩn.

Kỳ vọng có cùng đơn vị với X. Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X. Căn bậc hai đưa độ lệch chuẩn về đúng đơn vị của X.

Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai

E(X) cho biết mức tập trung của phân bố. Nếu làm phép thử rất nhiều lần và lấy trung bình các giá trị quan sát được, trung bình đó tiến gần tới E(X).

V(X) đo độ phân tán quanh mức đó. Phương sai nhỏ nghĩa là các giá trị có xác suất đáng kể nằm sát E(X). Phương sai lớn nghĩa là X dễ nhận những giá trị cách xa trung bình. V(X) = 0 khi và chỉ khi X nhận đúng một giá trị với xác suất 1. Hai biến có cùng kỳ vọng vẫn có thể phân tán rất khác nhau; lúc đó phương sai, hoặc độ lệch chuẩn, là thước đo để so sánh.

Bài tập mẫu

Bấm Ví Dụ Mẫu. Bảng là X ∈ {0, 1, 2, 3} với xác suất 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Tổng bằng 1.

Trung bình của X là 1,5. Các giá trị lệch khỏi mức này khoảng 0,866 đơn vị nếu đo bằng độ lệch chuẩn. Phân bố đối xứng quanh 1,5, nên hai cột giữa cao bằng nhau và hai cột ngoài cũng cao bằng nhau.

Những lỗi hay gặp

1. Tính kỳ vọng khi tổng xác suất chưa bằng 1. Hãy cộng các p_i trước. Máy tính sẽ báo nếu tổng lệch.
2. Quên bình phương x trước khi nhân p trong E(X²). E(X²) không phải [E(X)]².
3. Lấy V(X) = E(X²) − E(X). Phải trừ bình phương của kỳ vọng, không trừ chính kỳ vọng.
4. Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn. V(X) = 3/4, còn σ(X) là căn của 3/4.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào một bảng phân bố được chấp nhận?

Mỗi xác suất nằm từ 0 đến 1, các giá trị của X không trùng nhau và tổng mọi xác suất bằng 1. Thiếu một trong ba điều kiện thì chưa phải phân bố xác suất.

Kỳ vọng E(X) nói lên điều gì?

E(X) là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên theo bảng phân bố. Nếu lặp lại phép thử rất nhiều lần, trung bình các quan sát sẽ tiến gần tới E(X).

Phương sai khác độ lệch chuẩn ở điểm nào?

V(X) bằng E(X^2) trừ bình phương của E(X). Độ lệch chuẩn sigma(X) là căn bậc hai của V(X), nên cùng đơn vị với X. Phương sai thì mang đơn vị bình phương.

Vì sao không lấy V(X) bằng E(X^2) trừ E(X)?

Công thức đúng phải trừ bình phương của kỳ vọng. E(X^2) và [E(X)]^2 là hai đại lượng khác nhau; hiệu của chúng mới đo độ phân tán.

Phương sai bằng 0 có nghĩa là gì?

X nhận một giá trị duy nhất với xác suất 1. Không có độ lệch nào khỏi kỳ vọng, nên cả phương sai và độ lệch chuẩn đều bằng 0.