Công Cụ Khai Triển Nhị Thức Newton & Tìm Hệ Số Số Hạng

Máy tính phía trên khai triển (ax + b)ⁿ với n nguyên từ 1 đến 15. Mỗi số hạng được viết đúng dạng T_k+1 trong sách giáo khoa, kèm giá trị tổ hợp C_n^k đã khử giai thừa. Nếu bật ô tìm hệ số, công cụ lập số hạng tổng quát, giải phương trình số mũ rồi kết luận hệ số đúng của x^k.

Công thức nhị thức Newton

Với n là số nguyên dương và a, b là các hằng số:

Số hạng tổng quát, tức số hạng thứ k + 1, là:

Trong số hạng này có ba phần cần tính riêng: tổ hợp C_n^k, lũy thừa của a và lũy thừa của b. Số mũ của x không còn là một thừa số nữa; nó chỉ cho biết hạng tử đang đứng ở vị trí nào của đa thức.

Tổ hợp được tính bằng cách khử giai thừa, giống công cụ tổ hợp:

Hai mốc dễ nhớ: C_n⁰ = 1 và C_nⁿ = 1. Khi k = 0, số hạng là (ax)ⁿ. Khi k = n, số hạng là bⁿ, không còn x.

Cách tìm hệ số của x^k

Đừng nhầm chỉ số k trong tổng với số mũ cần tìm. Lời giải làm lần lượt:

1. Viết T_k+1 và thấy số mũ của x là n − k.
2. Cho số mũ đó bằng số mũ đề bài yêu cầu, rồi giải ra k.
3. Chỉ khi k là số nguyên thỏa 0 ≤ k ≤ n thì số hạng mới tồn tại.
4. Thay k vừa tìm vào T_k+1. Phần không chứa x chính là hệ số.

Nếu phương trình cho k âm hoặc k lớn hơn n, đa thức không có hạng tử ấy. Hệ số bằng 0.

Bài tập mẫu

Bấm Ví Dụ Mẫu để thấy đúng bài (2x + 3)⁴ và hệ số của x².

Năm số hạng:

Muốn hệ số của x², cho số mũ của x bằng 2:

k = 2 nằm từ 0 đến 4, nên lấy T₃. Hệ số là 216. Kết quả này trùng với hạng tử 216x² trong đa thức đã khai triển.

Những lỗi hay gặp

1. Quên lũy thừa của a. (2x)³ bằng 8x³, không phải 2x³.
2. Lấy nhầm số mũ. Ở T_k+1, số mũ của x là n − k, không phải k.
3. Dùng k ngoài đoạn từ 0 đến n. Khi đó không có số hạng, hệ số bằng 0.
4. Bỏ dấu ngoặc khi a hoặc b âm. (−2x)⁴ khác −(2x)⁴.

Câu hỏi thường gặp

Số hạng tổng quát của (ax + b)^n là gì?

T_{k+1} = C_n^k (ax)^{n-k} b^k. Viết theo lũy thừa của x thì hệ số là C_n^k a^{n-k} b^k và số mũ của x là n – k.

Vì sao số mũ của x lại là n trừ k?

Trong số hạng T_{k+1}, lũy thừa của (ax) là n – k. Mỗi (ax) đóng góp một thừa số x, nên x có mũ n – k. Chỉ số k là số lần lấy thừa số b.

Nếu k tìm được không nằm từ 0 đến n thì sao?

Đa thức bậc n chỉ có các mũ từ 0 đến n. Nếu phương trình cho k âm hoặc lớn hơn n thì không có số hạng đó và hệ số bằng 0.

C_n^k trong khai triển tính thế nào?

Khử giai thừa chung rồi nhân các thừa số còn lại: C_n^k = n(n-1)…(n-k+1) / k!. Hai trường hợp đặc biệt là C_n^0 = 1 và C_n^n = 1.

a hoặc b âm thì có cần ngoặc không?

Có. Khi nâng một cơ số âm lên lũy thừa, phải viết ngoặc. Ví dụ (-2x)^4 bằng 16x^4, còn – (2x)^4 bằng -16x^4.