Công Cụ Tính Phương Sai & Độ Lệch Chuẩn – Đo Mức Độ Phân Tán

Máy tính phía trên đo mức độ phân tán của một dãy số. Lời giải đi từ cỡ mẫu và số trung bình, sang khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, bảng độ lệch bình phương, phương sai và độ lệch chuẩn. Mặc định chia cho N theo SGK Toán 10. Nếu chọn mẫu hiệu chỉnh, máy chia cho N − 1.

Vì sao phải đo độ phân tán?

Hai dãy có cùng số trung bình vẫn có thể rất khác nhau. Dãy 10; 10; 10 đứng yên một chỗ. Dãy 0; 10; 20 cũng có trung bình 10 nhưng trải rộng. Số đặc trưng về xu thế trung tâm chưa kể được điều đó. Cần thêm các số đo độ phân tán.

Khoảng biến thiên

Sau khi sắp xếp, khoảng biến thiên là hiệu số lớn nhất và số nhỏ nhất:

R dễ tính, nhưng chỉ nhìn hai đầu mút. Một giá trị ngoại lai làm R tăng dù phần còn lại của dãy rất đều.

Khoảng tứ phân vị

Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên, theo cùng quy ước với công cụ trung vị: nếu N lẻ thì không tính số trung vị vào hai nửa. Khoảng tứ phân vị là:

ΔQ mô tả bề rộng của nửa giữa mẫu. Nó ổn định hơn R khi hai đầu dãy có số bất thường.

Phương sai

Độ lệch xᵢ − x̄ có thể âm. Nếu cộng các độ lệch, phần âm triệt tiêu phần dương và tổng bằng 0. Bình phương từng độ lệch để mọi số hạng không âm, rồi lấy trung bình:

Đây là công thức SGK Toán 10 khi phương sai được tính cho chính dãy số liệu đang xét. Máy tính để công thức này làm mặc định.

Khi dãy chỉ là một mẫu rút từ một tổng thể lớn hơn, và ta muốn ước lượng độ phân tán của tổng thể, người ta dùng phương sai hiệu chỉnh:

Mẫu số N − 1 bù lại việc trung bình đã được tính từ chính mẫu đó. Cần N ≥ 2. Phương sai hiệu chỉnh lớn hơn một chút so với cách chia cho N.

Độ lệch chuẩn

Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của dữ liệu. Căn bậc hai đưa thước đo về cùng đơn vị với xᵢ:

s nhỏ nghĩa là các số liệu nằm gần trung bình, mẫu ổn định. s lớn nghĩa là các số liệu phân tán. s = 0 khi và chỉ khi mọi số liệu bằng nhau.

Với phân phối dạng chuông như hình minh họa, phần lớn số liệu nằm trong khoảng từ x̄ − s đến x̄ + s, và gần như toàn bộ nằm trong khoảng từ x̄ − 2s đến x̄ + 2s. Với một dãy bất kỳ, không nên gán cứng một phần trăm. s vẫn là thước đo độ lệch bình phương trung bình, dùng để so sánh các mẫu có cùng đơn vị.

Bài tập mẫu

Cho dãy 12, 15, 17, 20, 24, 28. Đây đúng là dữ liệu của nút Dữ liệu mẫu, với cách chia cho N.

N = 6. Tổng bằng 116, nên x̄ = 116/6 = 58/3.

Nửa dưới là 12, 15, 17 nên Q1 = 15. Nửa trên là 20, 24, 28 nên Q3 = 24. ΔQ = 9.

Các độ lệch khỏi 58/3 là −22/3, −13/3, −7/3, 2/3, 14/3, 26/3. Bình phương từng độ lệch rồi cộng tử số được 1578/9, rút gọn thành 526/3. Chia cho N = 6:

Các số liệu lệch khỏi trung bình khoảng hơn 5 đơn vị. So với khoảng biến thiên 16, độ phân tán ở mức vừa: dãy không co thành một điểm, cũng không bị một giá trị ngoại lai kéo giãn.

Những lỗi hay gặp

1. Cộng độ lệch rồi chia, không bình phương. Tổng độ lệch luôn bằng 0, kết quả không đo được sự phân tán.
2. Quên căn khi trả lời độ lệch chuẩn. s² là phương sai. s mới cùng đơn vị với dữ liệu.
3. Chia cho N − 1 trong bài SGK yêu cầu chia cho N. Hãy đọc đề. Máy tính ghi rõ từng mẫu số trong bước 5.
4. So sánh độ lệch chuẩn của hai đại lượng khác đơn vị. s = 2 cm và s = 2 kg không nói hộ nhau dãy nào phân tán hơn.

Câu hỏi thường gặp

SGK Toán 10 chia phương sai cho N hay cho N trừ 1?

Với chính dãy số liệu đang xét, SGK chia cho N. Chia cho N – 1 là phương sai hiệu chỉnh, dùng khi muốn ước lượng độ phân tán của tổng thể từ một mẫu. Máy tính mặc định chia cho N.

Độ lệch chuẩn bằng 0 có nghĩa là gì?

Mọi số liệu bằng nhau. Không có độ lệch nào khác 0, nên phương sai và độ lệch chuẩn đều bằng 0. Mẫu hoàn toàn ổn định.

Khoảng biến thiên khác khoảng tứ phân vị thế nào?

Khoảng biến thiên bằng số lớn nhất trừ số nhỏ nhất, nên dễ bị giá trị ngoại lai kéo giãn. Khoảng tứ phân vị bằng Q3 trừ Q1, chỉ nhìn nửa giữa của mẫu.

Vì sao phải bình phương độ lệch khi tính phương sai?

Độ lệch âm và độ lệch dương cộng lại thì triệt tiêu, tổng luôn bằng 0. Bình phương làm mọi số hạng không âm. Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị dữ liệu, nên lấy căn bậc hai để có độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu.

Độ lệch chuẩn nhỏ có phải mẫu ổn định không?

Độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là các số liệu tập trung gần trung bình, mẫu ổn định hơn một mẫu khác có cùng đơn vị đo nhưng độ lệch chuẩn lớn hơn. Không nên so sánh hai độ lệch chuẩn khi hai dãy khác đơn vị.