Công Cụ Viết Phương Trình Mặt Phẳng & Tính Khoảng Cách Oxyz
Chọn viết phương trình mặt phẳng hoặc tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng. Mỗi bước ghi công thức trước, rồi thay đúng số đã nhập.
Máy tính phía trên có hai chế độ. Chế độ thứ nhất viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến, hoặc khi biết ba điểm không thẳng hàng. Chế độ thứ hai tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng, vừa ở dạng căn thức chính xác vừa ở dạng thập phân làm tròn ba chữ số.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát
với A, B, C không đồng thời bằng 0. Vectơ n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến: n vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng. Đổi dấu cả bốn hệ số, hoặc nhân cả phương trình với một số khác 0, vẫn được cùng một mặt phẳng.
Dạng A. Biết một điểm và vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận n = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến khi n khác vectơ không. Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng nếu M₀M vuông góc với n:
Khai triển rồi gom hạng tử tự do:
ta được Ax + By + Cz + D = 0.
Dạng B. Mặt phẳng đi qua ba điểm
Với ba điểm A, B, C phân biệt, lập AB và AC. Vectơ pháp tuyến là tích có hướng n = [AB, AC]. Nếu tích này bằng vectơ không thì AB và AC cùng phương, ba điểm thẳng hàng, không có một mặt phẳng duy nhất đi qua cả ba. Nếu n khác vectơ không, viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận n làm pháp tuyến, rồi khai triển như dạng A.
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Cho M(x_M; y_M; z_M) và mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách là
Tử số bằng 0 khi và chỉ khi M nằm trên mặt phẳng. Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến, nên A, B, C không được cùng bằng 0. Trước khi làm tròn, hãy rút gọn phân số căn thức. Nhân cả tử và mẫu với căn ở mẫu nếu muốn khử căn ở mẫu số. Số thập phân làm tròn ba chữ số chỉ dùng để ước lượng.
Đổi dấu đồng thời A, B, C, D không đổi khoảng cách, vì giá trị tuyệt đối ở tử và các bình phương ở mẫu xóa dấu của phương trình.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Dạng A
M₀(1; −2; 3), n = (2; 1; −1). Bấm Ví dụ mẫu khi đang chọn dạng A.
Hằng số D = −2·1 − 1·(−2) − (−1)·3 = 3.
Ví dụ 2. Dạng B
A(1; 2; 0), B(2; 3; 1), C(0; 1; 2).
Lấy n = (1; −1; 0) và viết phương trình qua A:
Thay B và C vào x − y + 1 đều được 0, nên cả ba điểm cùng thuộc mặt phẳng.
Ví dụ 3. Khoảng cách
M(1; 2; 3) và mặt phẳng x + y + z − 1 = 0. Bấm Ví dụ mẫu ở tab khoảng cách.
Những lỗi hay gặp
- Nhận vectơ chỉ phương làm pháp tuyến. Vectơ nằm trên mặt phẳng thì vuông góc với pháp tuyến, không được thay vào vị trí của n.
- Viết mặt phẳng khi ba điểm thẳng hàng. Phải thấy [AB, AC] khác vectơ không trước khi kết luận có mặt phẳng (ABC).
- Quên giá trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách. Khoảng cách không âm. Dấu của Ax + By + Cz + D cho biết M nằm về phía nào so với mặt phẳng, không phải độ dài.
- Làm tròn trước khi rút gọn căn. Dạng 5√3 / 3 là đáp số đúng. 2,887 chỉ là giá trị gần đúng.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì?
Dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0. Bộ (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ pháp tuyến khác vectơ chỉ phương ở điểm nào?
Vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng. Vectơ chỉ phương nằm song song với một đường thẳng trên mặt phẳng, nên vuông góc với pháp tuyến. Không được dùng vectơ chỉ phương thay cho n khi viết phương trình mặt phẳng.
Ba điểm thẳng hàng thì có viết được mặt phẳng không?
Không có một mặt phẳng duy nhất. Khi đó AB và AC cùng phương, tích có hướng bằng vectơ không. Cần ba điểm không thẳng hàng thì mặt phẳng (ABC) mới xác định.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính thế nào?
Lấy giá trị tuyệt đối của AxM + ByM + CzM + D, rồi chia cho căn của A bình phương cộng B bình phương cộng C bình phương. Kết quả đúng nên giữ ở dạng phân số căn thức trước khi làm tròn ba chữ số thập phân.
Đổi dấu cả phương trình mặt phẳng thì khoảng cách có đổi không?
Không đổi. Tử số có giá trị tuyệt đối, mẫu số có các bình phương, nên nhân cả phương trình với −1 vẫn cho cùng một khoảng cách và cùng một mặt phẳng.