Công Cụ Tọa Độ Vectơ & Tích Có Hướng Trong Không Gian Oxyz

Máy tính phía trên nhận tọa độ hai vectơ trong hệ trục Oxyz. Lời giải đi đúng trình tự sách giáo khoa Toán 12: độ dài, tích vô hướng, góc giữa hai vectơ, rồi tích có hướng khai triển theo ba định thức cấp 2. Bấm Ví dụ mẫu để xem ví dụ 1.

Tọa độ vectơ trong Oxyz

Trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, mỗi vectơ được viết bằng bộ ba tọa độ. Nếu u = (x₁; y₁; z₁) và v = (x₂; y₂; z₂) thì mọi phép tính ở dưới chỉ dùng sáu số này. Tọa độ trên trang viết theo dạng (x; y; z), đúng cách trình bày của sách giáo khoa.

Độ dài

Vectơ không là vectơ có cả ba tọa độ bằng 0. Độ dài của nó bằng 0. Mọi công thức có mẫu số là độ dài đều phải dừng lại khi gặp vectơ không.

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Khi cả hai vectơ đều khác vectơ không, góc φ giữa chúng lấy trong đoạn từ 0° đến 180° và thỏa:

• Tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc, φ = 90°.
• Côsin dương thì φ là góc nhọn. Côsin âm thì φ là góc tù.
• Côsin bằng 1 thì hai vectơ cùng hướng. Côsin bằng −1 thì hai vectơ ngược hướng.

Tích có hướng

Tích có hướng là một vectơ, không phải một số. Sách giáo khoa viết:

Ba tọa độ chính là ba định thức cấp 2. Hoành độ lấy cột y và cột z. Tung độ lấy cột z rồi cột x, cách viết này đã gồm dấu trừ của cột j. Cao độ lấy cột x và cột y. Cũng có thể nhớ qua định thức cấp 3:

Vectơ [u, v] vuông góc với cả u và v. Độ dài của nó bằng diện tích hình bình hành có hai cạnh là u và v. Đổi thứ tự hai vectơ thì tích có hướng đổi dấu: [v, u] = −[u, v].

Khi nào hai vectơ cùng phương?

Hai vectơ cùng phương khi tích có hướng bằng vectơ không:

Vectơ không cùng phương với mọi vectơ. Nếu cả hai đều khác vectơ không và cùng phương, tồn tại số k sao cho u = k v. k > 0 là cùng hướng, k < 0 là ngược hướng. Cùng phương gồm cả hai trường hợp đó.

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Hai vectơ vuông góc

u = (1; 2; 2), v = (2; 1; −2). Đây là bộ số của nút Ví dụ mẫu.

Vậy φ = 90°. Tích có hướng:

Độ dài của tích có hướng bằng 9, đúng bằng diện tích hình bình hành dựng trên u và v. Hai vectơ không cùng phương.

Ví dụ 2. Góc tù

u = (2; −1; 3), v = (1; 2; −1).

Ví dụ 3. Cùng phương và ngược hướng

u = (2; −4; 6), v = (−1; 2; −3). Ta có u = −2 v.

Tích có hướng bằng vectơ không nên hai vectơ cùng phương. Vì hệ số tỉ lệ âm, chúng ngược hướng.

Những lỗi hay gặp

1. Nhầm tích vô hướng với tích có hướng. Tích vô hướng là một số. Tích có hướng là một vectơ có ba tọa độ.
2. Quên dấu trừ ở tung độ. Tung độ là z₁x₂ − z₂x₁, không phải x₁z₂ − z₁x₂.
3. Chia để tìm góc khi một vectơ bằng không. Mẫu số có độ dài, nên vectơ không không có góc với vectơ khác.
4. Tưởng cùng phương chỉ là cùng hướng. Ngược hướng vẫn cùng phương. Dấu hiệu chung là tích có hướng bằng vectơ không.

Câu hỏi thường gặp

Độ dài một vectơ trong Oxyz tính bằng công thức nào?

Độ dài của vectơ (x; y; z) bằng căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương cộng z bình phương.

Tích vô hướng cho biết gì về góc giữa hai vectơ?

Côsin của góc bằng tích vô hướng chia cho tích hai độ dài. Tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc, với điều kiện cả hai đều khác vectơ không.

Tích có hướng được tính theo định thức nào?

Ba tọa độ là ba định thức cấp 2: hoành độ từ cột y và z, tung độ từ cột z và x, cao độ từ cột x và y. Kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho.

Khi nào hai vectơ cùng phương?

Khi tích có hướng bằng vectơ không. Nếu một vectơ bằng k lần vectơ kia thì k dương là cùng hướng, k âm là ngược hướng. Cả hai trường hợp đều cùng phương.

Vectơ không có góc với một vectơ khác không?

Không. Công thức côsin có độ dài ở mẫu số, mà độ dài vectơ không bằng 0. Vectơ không vẫn cùng phương với mọi vectơ vì tích có hướng của nó với vectơ bất kỳ đều bằng vectơ không.