Công Cụ Khảo Sát & Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lượng Giác (Sin, Cos, Tan, Cot)
Chọn một hàm cơ bản, kéo thanh trượt hoặc gõ hệ số a, b, c, d. Đồ thị và bảng tính chất đổi ngay. Hệ số c nhận được dạng pi/3 hoặc -pi/4.
Di chuột hoặc chạm dọc đồ thị để xem tọa độ. Khi canvas đang được chọn, phím mũi tên trái phải nhảy từng bước π/12.
Công cụ phía trên vẽ đồ thị bốn hàm số lượng giác cơ bản và dạng mở rộng y = a·sin(bx + c) + d (thay sin bằng cos, tan hoặc cot). Kéo thanh trượt để thấy đồ thị co giãn, tịnh tiến ngay trên màn hình. Bảng dưới đồ thị tự đổi theo hàm đang chọn: tập xác định, tập giá trị, chu kỳ, tính chẵn lẻ, chiều biến thiên, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc tiệm cận đứng. Di chuột dọc đường cong để đọc tọa độ từng điểm theo radian và số thập phân.
Định nghĩa bốn hàm số lượng giác
Theo chương trình Toán 11 (GDPT 2018), mỗi hàm số lượng giác là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x (số đo radian của góc lượng giác) với một số thực duy nhất:
- Hàm số sin: y = sin x, xác định với mọi số thực x.
- Hàm số côsin: y = cos x, xác định với mọi số thực x.
- Hàm số tang: y = tan x = sin x / cos x, chỉ xác định khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ π/2 + kπ.
- Hàm số côtang: y = cot x = cos x / sin x, chỉ xác định khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ.
Trên đường tròn lượng giác, điểm M ứng với số thực x có hoành độ cos x và tung độ sin x. Vì M luôn nằm trên đường tròn bán kính 1 nên sin và cos chỉ nhận giá trị từ −1 đến 1. Tan và cot là thương của hai số này, nên nhận mọi giá trị thực.
| Hàm số | Tập xác định | Tập giá trị | Chu kỳ | Chẵn, lẻ |
|---|---|---|---|---|
| y = sin x | D = ℝ | [−1; 1] | 2π | lẻ |
| y = cos x | D = ℝ | [−1; 1] | 2π | chẵn |
| y = tan x | ℝ \ {π/2 + kπ} | ℝ | π | lẻ |
| y = cot x | ℝ \ {kπ} | ℝ | π | lẻ |
Hàm số tuần hoàn và chu kỳ
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x thuộc D thì x ± T ∈ D và
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là chu kỳ của hàm số. Cứ sau mỗi đoạn dài T, đồ thị lặp lại y hệt. Vì thế chỉ cần vẽ đồ thị trên một đoạn dài T, rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn kT để được toàn bộ đồ thị.
Sin và cos có chu kỳ 2π vì điểm M quay đủ một vòng thì trở lại chỗ cũ. Tan và cot có chu kỳ π vì khi M quay nửa vòng, cả sin và cos cùng đổi dấu, nên thương của chúng giữ nguyên.
Tính chẵn, lẻ và tính đối xứng của đồ thị
Bốn tập xác định ở trên đều đối xứng qua 0. Dùng các công thức góc đối:
- y = sin x, y = tan x, y = cot x là hàm số lẻ. Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
- y = cos x là hàm số chẵn. Đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.
Khi bật tùy chọn so sánh trong công cụ, bạn sẽ thấy đường cos (màu cam) đối xứng hai bên trục Oy, còn đường sin (màu xanh) quay 180° quanh O thì trùng với chính nó.
Bảng biến thiên trong một chu kỳ
Hàm số y = sin x trên đoạn [−π; π]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + k2π; π/2 + k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 + k2π; 3π/2 + k2π).
| x | −π | −π/2 | π/2 | π | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | ↘ | −1 | ↗ | 1 | ↘ | 0 |
Hàm số y = cos x trên đoạn [−π; π]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π).
| x | −π | 0 | π | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | −1 | ↗ | 1 | ↘ | −1 |
Hàm số y = tan x trên khoảng (−π/2; π/2)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + kπ; π/2 + kπ). Các đường thẳng x = π/2 + kπ là tiệm cận đứng.
| x | −π/2 | 0 | π/2 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | −∞ | ↗ | 0 | ↗ | +∞ |
Hàm số y = cot x trên khoảng (0; π)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ). Các đường thẳng x = kπ là tiệm cận đứng.
| x | 0 | π/2 | π | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | +∞ | ↘ | 0 | ↘ | −∞ |
Đồ thị tan và cot gồm vô số nhánh giống hệt nhau, mỗi nhánh nằm giữa hai đường tiệm cận đứng liên tiếp. Trong công cụ, các tiệm cận này được vẽ bằng nét đứt.
Tịnh tiến và co giãn đồ thị y = a sin(bx + c) + d
Dạng tổng quát y = a·sin(bx + c) + d (với a ≠ 0, b ≠ 0) mô tả mọi dao động điều hòa trong Vật lí. Mỗi hệ số làm một việc riêng:
| Hệ số | Tên gọi | Tác động lên đồ thị y = sin x |
|---|---|---|
| a | biên độ |a| | Giãn (|a| > 1) hoặc co (|a| < 1) theo phương dọc. Nếu a < 0 thì lật đối xứng qua trục Ox. |
| b | tần số góc | Co (|b| > 1) hoặc giãn (|b| < 1) theo phương ngang. Chu kỳ mới T = 2π/|b|. |
| c | pha ban đầu | Tịnh tiến theo phương ngang một đoạn |c/b|: sang trái nếu c/b > 0, sang phải nếu c/b < 0. |
| d | độ dời dọc | Tịnh tiến lên trên d đơn vị nếu d > 0, xuống dưới |d| đơn vị nếu d < 0. Đường cân bằng mới là y = d. |
Từ bảng trên suy ra ngay:
Với tan và cot, hệ số b vẫn đổi chu kỳ thành π/|b|, còn a và d không làm thay đổi tập giá trị ℝ.
Thứ tự dựng hình nên dùng. Viết bx + c = b(x + c/b). Từ đồ thị y = sin x: co giãn ngang theo b, tịnh tiến ngang −c/b, co giãn dọc theo a, cuối cùng tịnh tiến dọc d. Công cụ phía trên liệt kê đúng các bước này cho hàm bạn đang nhập.
Bốn ví dụ mẫu có lời giải
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của y = tan(2x − π/3)
Hàm tan xác định khi biểu thức bên trong khác π/2 + kπ:
Vậy D = ℝ \ {5π/12 + kπ/2}. Chu kỳ là π/2. Có thể viết họ điểm này dưới dạng khác, chẳng hạn −π/12 + kπ/2, vì 5π/12 − π/2 = −π/12. Chọn hàm tan và nhập a = 1, b = 2, c = -pi/3, d = 0 để công cụ vẽ các tiệm cận đứng tại những điểm này.
Ví dụ 2. Chu kỳ, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = 3sin(2x + π/4) − 1
Ở đây a = 3, b = 2, c = π/4, d = −1. Chu kỳ T = 2π/2 = π. Vì −1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1 nên
Giá trị lớn nhất bằng 2 khi 2x + π/4 = π/2 + k2π, tức x = π/8 + kπ. Giá trị nhỏ nhất bằng −4 khi 2x + π/4 = −π/2 + k2π, tức x = −3π/8 + kπ. Tập giá trị là [−4; 2].
Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ
a) f(x) = sin 2x + tan x. Tập xác định ℝ \ {π/2 + kπ} đối xứng qua 0. Ta có f(−x) = −f(x), nên f là hàm số lẻ.
b) g(x) = cos x + sin²x. Tập xác định ℝ. g(−x) = g(x), nên g là hàm số chẵn.
c) h(x) = sin x + cos x. Thử x = π/4: h(π/4) = √2, còn h(−π/4) = 0. Hai giá trị này không bằng nhau, cũng không đối nhau, nên h không chẵn, không lẻ. Thật ra h(x) = √2·sin(x + π/4); nhập a = sqrt(2), c = pi/4 vào công cụ để thấy đồ thị không đối xứng qua O hay Oy.
Ví dụ 4. Dựng đồ thị và tìm khoảng đồng biến của y = 2sin(2x − π/3) + 1
Viết 2x − π/3 = 2(x − π/6). Từ đồ thị y = sin x, làm lần lượt:
- Co theo phương ngang hệ số 1/2, được y = sin 2x có chu kỳ π.
- Tịnh tiến sang phải π/6, được y = sin(2x − π/3).
- Giãn theo phương dọc hệ số 2, được y = 2sin(2x − π/3).
- Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị, được đồ thị cần vẽ, dao động giữa −1 và 3.
Vì a·b = 4 > 0, hàm đồng biến khi biểu thức bên trong thuộc khoảng đồng biến của sin:
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng (−π/12 + kπ; 5π/12 + kπ), đạt giá trị lớn nhất 3 tại x = 5π/12 + kπ. Nhập a = 2, b = 2, c = -pi/3, d = 1 để công cụ vẽ lại và kiểm tra từng bước.
Những lỗi hay gặp
- Tính chu kỳ bằng 2π/b khi b âm. Chu kỳ luôn dương: T = 2π/|b|.
- Tịnh tiến ngang một đoạn c thay vì c/b. Với y = sin(2x − π), đồ thị dời sang phải π/2, không phải π.
- Quên điều kiện xác định của tan, cot. Phải loại các điểm làm cos (với tan) hoặc sin (với cot) của biểu thức bên trong bằng 0.
- Nối liền hai nhánh tan qua tiệm cận. Đồ thị tan và cot bị đứt tại mỗi đường tiệm cận đứng, không có điểm nào nằm trên các đường đó.
- Kết luận chẵn, lẻ chỉ từ một cặp điểm. Một cặp điểm đủ để bác bỏ tính chẵn hoặc lẻ, nhưng muốn khẳng định thì phải chứng minh đẳng thức với mọi x.
Câu hỏi thường gặp
Chu kỳ của hàm số y = a sin(bx + c) + d tính thế nào?
Chu kỳ bằng 2π chia cho trị tuyệt đối của b. Với tan và cot, chu kỳ bằng π chia cho trị tuyệt đối của b. Các hệ số a, c, d không làm thay đổi chu kỳ. Ví dụ y = 3sin(2x + π/4) − 1 có chu kỳ π.
Vì sao đồ thị y = tan x và y = cot x có các đường tiệm cận đứng?
Tan x bằng sin x chia cos x, nên khi x tiến tới π/2 + kπ thì mẫu cos x tiến về 0 và giá trị tan x tăng hoặc giảm không giới hạn. Các đường thẳng x = π/2 + kπ là tiệm cận đứng của tan. Tương tự, cot có tiệm cận đứng x = kπ, nơi sin x bằng 0.
Hàm số lượng giác nào là hàm chẵn, hàm nào là hàm lẻ?
Chỉ y = cos x là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. Ba hàm y = sin x, y = tan x, y = cot x là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O. Sau khi tịnh tiến, hàm mới có thể không chẵn, không lẻ.
Tập giá trị của y = a sin(bx + c) + d là gì?
Vì sin(bx + c) nằm trong đoạn từ −1 đến 1, nên y nằm trong đoạn từ d − |a| đến d + |a|. Giá trị lớn nhất là d + |a|, giá trị nhỏ nhất là d − |a|. Điều này cũng đúng khi thay sin bằng cos. Với tan và cot, tập giá trị luôn là ℝ.
Làm sao suy ra đồ thị y = cos x từ đồ thị y = sin x?
Vì cos x = sin(x + π/2), đồ thị y = cos x chính là đồ thị y = sin x tịnh tiến sang trái π/2 đơn vị. Trong công cụ, chọn hàm sin, đặt c = pi/2 và bật đường so sánh cos để thấy hai đường trùng nhau.