Công Cụ Giải Tam Giác Theo Định Lý Sin & Côsin

Giải tam giác là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết một số yếu tố đủ để xác định tam giác. Máy tính phía trên nhận ba kiểu dữ kiện cơ bản trong SGK Toán 10: ba cạnh (c.c.c), hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c), một cạnh và hai góc kề (g.c.g). Kết quả gồm ba góc đổi ra độ và phút, diện tích S, nửa chu vi p, bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r, ba đường cao, lời giải từng bước bằng định lý sin, định lý côsin và một hình vẽ đúng tỉ lệ.

Quy ước kí hiệu

Trong tam giác ABC: a = BC, b = CA, c = AB là ba cạnh đối diện với ba đỉnh A, B, C; Â, B̂, Ĉ là ba góc; p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi; h_a, h_b, h_c là các đường cao ứng với cạnh a, b, c; R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp; S là diện tích.

Định lý côsin

Trong mọi tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh đó nhân với côsin của góc xen giữa (SGK Toán 10, bài Hệ thức lượng trong tam giác):

Khi góc C vuông, cos C = 0 và định lý côsin trở thành định lý Pythagore. Vì vậy có thể coi định lý côsin là định lý Pythagore mở rộng cho tam giác bất kỳ.

Hệ quả dùng để tính góc khi biết ba cạnh:

Dấu của tử số cho biết loại góc: b² + c² > a² thì A nhọn, bằng nhau thì A vuông, nhỏ hơn thì A tù.

Định lý sin

Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R:

Định lý sin dùng khi biết một cạnh và các góc (trường hợp g.c.g), hoặc để tính R. Từ đó a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C: cạnh nào lớn hơn thì đối diện góc lớn hơn.

Các công thức diện tích và bán kính

Công thức Heron chỉ cần ba cạnh nên hợp với trường hợp c.c.c. Công thức ½ab sin C hợp với c.g.c và g.c.g, vì góc C đã biết hoặc tính được ngay.

Ba bài toán giải tam giác cơ bản

Vì sao công cụ tính góc A bằng côsin chứ không bằng sin? Phương trình sin A = m có hai nghiệm trong khoảng (0°; 180°) là A và 180° − A, nên dễ bỏ sót góc tù. Côsin thì xác định duy nhất góc trong (0°; 180°). Trường hợp biết hai cạnh và một góc không xen giữa (c.c.g) có thể cho hai tam giác khác nhau, nên công cụ chỉ nhận ba kiểu dữ kiện luôn xác định duy nhất một tam giác.

Bốn ví dụ mẫu có lời giải

Ví dụ 1 (c.c.c). Giải tam giác có a = 7, b = 8, c = 5

Ví dụ 2 (c.g.c). Cho a = 8, b = 5, Ĉ = 60°

Đây chính là tam giác ở ví dụ 1 với tên cạnh đổi chỗ, nên diện tích bằng nhau.

Ví dụ 3 (g.c.g). Cho B̂ = 45°, a = 10, Ĉ = 60°

Ví dụ 4 (bài toán thực tế). Đo khoảng cách qua hồ nước

Hai điểm A, B nằm hai bên bờ hồ, không đo trực tiếp được. Từ điểm C trên bờ, người ta đo được CA = 120 m, CB = 150 m và góc ACB = 70°. Đây là trường hợp c.g.c với a = 150, b = 120, Ĉ = 70°:

Nhập a = 150, b = 120, C = 70 ở tab “Cạnh – Góc – Cạnh” để kiểm tra và xem hai góc còn lại.

Những lỗi hay gặp

1. Nhầm góc xen giữa. Trong c² = a² + b² − 2ab cos C, C phải là góc tạo bởi hai cạnh a và b, đối diện với cạnh c.
2. Để máy tính ở chế độ radian. Nhập cos 60 ở chế độ radian sẽ ra cos(60 rad) ≈ −0,952. Công cụ này luôn hiểu góc theo độ.
3. Dùng arcsin để tìm góc có thể tù. sin 30° = sin 150°. Muốn chắc chắn, hãy tìm góc đối diện cạnh lớn nhất bằng côsin.
4. Quên kiểm tra bất đẳng thức tam giác. Ba số 1, 2, 3 không tạo thành tam giác vì 3 = 1 + 2; công thức Heron sẽ cho S = 0.
5. Làm tròn quá sớm. Giữ nhiều chữ số ở các bước trung gian, chỉ làm tròn ở đáp số. Công cụ tính với độ chính xác máy rồi mới làm tròn khi hiển thị.

Câu hỏi thường gặp

Định lý côsin trong tam giác phát biểu thế nào?

Trong tam giác ABC, a² = b² + c² − 2bc·cos A, b² = a² + c² − 2ac·cos B, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Khi góc vuông, cos bằng 0 và định lý trở thành định lý Pythagore.

Định lý sin dùng để làm gì?

Định lý sin a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R dùng để tính cạnh khi biết một cạnh và hai góc, hoặc tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Khi nào dùng định lý côsin, khi nào dùng định lý sin?

Biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa thì dùng định lý côsin. Biết một cạnh và hai góc thì tính góc thứ ba từ tổng 180°, rồi dùng định lý sin để tìm hai cạnh còn lại.

Tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh bằng công thức nào?

Dùng công thức Heron S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) với p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi. Ví dụ a = 7, b = 8, c = 5 có p = 10 và S = √300 = 10√3.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và nội tiếp r là gì?

R = abc/(4S) hoặc R = a/(2 sin A). Bán kính đường tròn nội tiếp r = S/p, với p là nửa chu vi. Đường cao ứng với cạnh a là h_a = 2S/a.