Công Cụ Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản – Lời Giải Từng Bước
Chọn hàm, nhập m bằng số hoặc căn thức. Có thể viết nghiệm theo radian hoặc độ, rồi liệt kê các nghiệm trong một đoạn.
Máy tính phía trên giải bốn phương trình lượng giác cơ bản theo đúng công thức nghiệm trong sách Toán 11. Nếu m trùng một giá trị đặc biệt, góc α được viết bằng radian có π hoặc bằng độ. Nếu bạn chọn một đoạn [A; B], công cụ giải bất phương trình tìm k nguyên rồi liệt kê từng nghiệm.
Công thức nghiệm chuẩn SGK Toán 11
Với sin x = m và cos x = m, trước hết phải có |m| ≤ 1. Nếu không, phương trình vô nghiệm vì sin và cos chỉ nhận giá trị trong đoạn [−1; 1].
Khi điều kiện đúng, chọn α = arcsin(m) với α thuộc [−π/2; π/2], hoặc α = arccos(m) với α thuộc [0; π].
Tan và cot xác định với mọi m thực, nhưng phương trình có điều kiện cho ẩn:
Nếu chọn đơn vị độ, chu kỳ 2π trở thành 360° và chu kỳ π trở thành 180°.
Các trường hợp đặc biệt m = 0, 1, −1
| Phương trình | Họ nghiệm gọn |
|---|---|
| sin x = 0 | x = kπ. Hai họ k2π và π + k2π gộp lại. |
| sin x = 1 | x = π/2 + k2π. Hai họ trùng nhau. |
| sin x = −1 | x = −π/2 + k2π. |
| cos x = 1 | x = k2π. |
| cos x = −1 | x = π + k2π. |
| cos x = 0 | x = π/2 + kπ. |
| tan x = 0 | x = kπ, với điều kiện xác định đã thỏa. |
| cot x = 0 | x = π/2 + kπ. |
Khi m = 1 hoặc m = −1 đối với sin và cos, không viết hai họ khác nhau nếu chúng chỉ lệch nhau một bội của chu kỳ.
Tìm nghiệm trên một đoạn
Họ nghiệm có dạng x = α + kT. Muốn x nằm trong [A; B], giải bất phương trình với ẩn nguyên k:
k chạy từ số nguyên nhỏ nhất không bé hơn cận dưới đến số nguyên lớn nhất không vượt cận trên. Mỗi k cho một nghiệm. Với sin hoặc cos có hai họ, làm riêng từng họ rồi sắp các nghiệm tăng dần. Nếu A lớn hơn B thì đoạn không hợp lệ. Nếu không có k nguyên nào, phương trình vô nghiệm trên đoạn đó.
Ba ví dụ mẫu
Ví dụ 1. sin x = 1/2
Vì |1/2| < 1, phương trình có nghiệm. α = π/6.
Trên đoạn [0; 2π] chỉ có k = 0 ở mỗi họ, nên hai nghiệm là π/6 và 5π/6. Theo độ, đó là 30° và 150°, chu kỳ 360°.
Ví dụ 2. cos x = −1
α = π. Hai biểu thức π + k2π và −π + k2π là cùng một họ.
Theo độ: x = 180° + k·360°.
Ví dụ 3. tan x = √3 trên [0°; 360°]
Điều kiện xác định: x khác 90° + k·180°. α = 60°.
Với 0° ≤ 60° + k·180° ≤ 360° thì k = 0 hoặc k = 1. Nghiệm là 60° và 240°. Cả hai đều khác 90° và 270°, nên đều nhận.
Những lỗi hay gặp
- Giải sin x = 2. Phương trình này vô nghiệm. Không lấy arcsin của số có trị tuyệt đối lớn hơn 1.
- Quên điều kiện của tan và cot. Công thức x = α + kπ đã né các điểm không xác định, nhưng khi liệt kê trên một đoạn vẫn nên đối chiếu lại.
- Viết hai họ cho sin x = 1. π/2 và π − π/2 là cùng một số. Chỉ còn một họ.
- Lấy k không nguyên. Cận của bất phương trình có thể là phân số. k phải là số nguyên nằm giữa hai cận, kể cả hai đầu nếu cận là số nguyên.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào phương trình sin x = m vô nghiệm?
Khi trị tuyệt đối của m lớn hơn 1. Sin và cos chỉ nhận giá trị từ âm 1 đến 1. Tan và cot thì có nghiệm với mọi m thực, miễn là x thỏa điều kiện xác định.
Công thức nghiệm của sin và cos khác nhau thế nào?
Sin x = m cho hai họ: x = alpha + k2π hoặc x = π trừ alpha + k2π. Cos x = m cho một dạng kép: x = cộng trừ alpha + k2π. Alpha của sin nằm từ âm π/2 đến π/2, alpha của cos nằm từ 0 đến π.
Phương trình tan x = m có điều kiện gì?
Tan xác định khi x khác π/2 cộng kπ. Khi đó nghiệm là x = alpha + kπ, với alpha = arctan(m) nằm trong khoảng mở từ âm π/2 đến π/2.
m = 1 và m = −1 có gì đặc biệt?
Với sin và cos, hai họ nghiệm trùng nhau. Sin x = 1 chỉ còn x = π/2 + k2π. Cos x = 1 chỉ còn x = k2π. Cos x = −1 chỉ còn x = π + k2π. Sin x = −1 chỉ còn x = −π/2 + k2π.
Làm thế nào để tìm nghiệm trên đoạn [A; B]?
Với mỗi họ x = alpha + kT, giải A nhỏ hơn hoặc bằng alpha + kT nhỏ hơn hoặc bằng B. Suy ra k nằm giữa (A trừ alpha) chia T và (B trừ alpha) chia T. Chỉ giữ các số nguyên k, rồi thay lại để liệt kê x.