Máy Tính & Tra Cứu Công Thức Biến Đổi Lượng Giác

Tháng 11 1, 2026 adminkk 5 Views

Máy Tính & Tra Cứu Công Thức Biến Đổi Lượng Giác sin(a ± b), cos 2a

Tra cứu nhanh công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng. Nhập góc để tính giá trị chính xác dạng căn và kiểm chứng hai vế, hoặc chọn dạng biểu thức để xem lời giải biến đổi từng bước.

📘 Hướng dẫn sử dụng

Bảng công thức: chọn nhóm hoặc gõ từ khóa (ví dụ “cos 2a”, “hạ bậc”) để lọc. Bấm 🧮 Thử để mở công thức trong máy tính, bấm 📋 LaTeX để chép mã công thức.
Tính giá trị: chọn công thức, nhập góc theo độ (30, 22.5, -45) hoặc radian có π (pi/6, 2π/3). Góc là bội của 15° cho kết quả chính xác dạng căn; các góc khác cho giá trị gần đúng.
Biến đổi biểu thức: chọn dạng (tổng → tích, tích → tổng, hạ bậc, góc bội, a·sin + b·cos, khai triển), nhập hệ số rồi bấm Biến đổi từng bước.
Mỗi lời giải có nút sao chép, in và link chia sẻ. Bấm VI / EN để đổi ngôn ngữ ngay trong công cụ.

➕ Công thức cộng

Sin của tổng, hiệu

\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

Dấu ở hai vế giống nhau.

Côsin của tổng, hiệu

\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b

Dấu ở vế phải ngược với dấu ở vế trái.

Tang của tổng, hiệu

\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}

Điều kiện: a, b, a ± b ≠ π/2 + kπ.

Côtang của tổng, hiệu

\cot(a \pm b) = \dfrac{\cot a\cot b \mp 1}{\cot b \pm \cot a}

Điều kiện: a, b, a ± b ≠ kπ.

Mẹo nhớ: “Sin thì sin cos cos sin, dấu giữ nguyên; cos thì cos cos sin sin, dấu đổi ngược; tan tổng thì lấy tổng tan chia một trừ tích tan.”

✖️ Công thức nhân đôi, nhân ba

Sin góc nhân đôi

\sin 2a = 2\sin a\cos a

Côsin góc nhân đôi (3 dạng)

\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

Tang góc nhân đôi

\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}

Điều kiện: a ≠ π/2 + kπ và a ≠ ±π/4 + kπ.

Côtang góc nhân đôi

\cot 2a = \dfrac{\cot^2 a - 1}{2\cot a}

Sin góc nhân ba

\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a

Côsin góc nhân ba

\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a

Tang góc nhân ba

\tan 3a = \dfrac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a}

Công thức nhân đôi chính là công thức cộng với b = a. Ba dạng của cos 2a cho phép chọn dạng chỉ chứa sin hoặc chỉ chứa cos, rất hay dùng khi giải phương trình.

⬇️ Công thức hạ bậc, góc chia đôi

Hạ bậc sin²

\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}

Hạ bậc cos²

\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}

Hạ bậc tan²

\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a}

Hạ bậc sin³

\sin^3 a = \dfrac{3\sin a - \sin 3a}{4}

Hạ bậc cos³

\cos^3 a = \dfrac{3\cos a + \cos 3a}{4}

Tính theo t = tan(a/2)

\sin a = \dfrac{2t}{1 + t^2},\quad \cos a = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2},\quad \tan a = \dfrac{2t}{1 - t^2}

Với t = tan(a/2), điều kiện a ≠ π + k2π.

Hạ bậc là đọc ngược công thức cos 2a: bình phương của sin, cos được thay bằng bậc nhất của cos 2a. Rất hay dùng khi tính tích phân hoặc giải phương trình bậc cao.

🔁 Biến đổi tổng thành tích

Tổng hai côsin

\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}

Hiệu hai côsin

\cos a - \cos b = -2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}

Tổng hai sin

\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}

Hiệu hai sin

\sin a - \sin b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}

Tổng, hiệu hai tang

\tan a \pm \tan b = \dfrac{\sin(a \pm b)}{\cos a\cos b}

Điều kiện: a, b ≠ π/2 + kπ.

Sin cộng, trừ côsin cùng góc

\sin a \pm \cos a = \sqrt{2}\sin\left(a \pm \dfrac{\pi}{4}\right)

Mẹo nhớ: “Cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin; sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin.” Góc thứ nhất là nửa tổng, góc thứ hai là nửa hiệu.

🔀 Biến đổi tích thành tổng

Tích hai côsin

\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]

Tích hai sin

\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]

Tích sin và côsin

\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right]

Tích thành tổng là đọc ngược tổng thành tích: luôn có hệ số 1/2, góc hiệu (a − b) đứng trước, góc tổng (a + b) đứng sau.

Công cụ phía trên gom toàn bộ công thức biến đổi lượng giác của chương trình Toán 11 (GDPT 2018) vào một chỗ. Tab Bảng công thức để tra cứu nhanh và chép mã LaTeX. Tab Tính giá trị thay góc cụ thể vào từng công thức, tính hai vế bằng căn thức chính xác để bạn tự kiểm chứng. Tab Biến đổi biểu thức trình bày lời giải từng bước cho các dạng tổng ↔ tích, hạ bậc, góc bội, a·sin x + b·cos x và khai triển. Phần dưới đây tóm tắt lý thuyết của từng nhóm công thức: chúng từ đâu ra, dùng khi nào và hay sai ở đâu. Cuối bài có 5 câu trắc nghiệm, mỗi nhóm công thức một câu, để bạn tự kiểm tra mức độ hiểu bài.

Mọi công thức biến đổi đều xuất phát từ công thức cộng. Cho b = a được công thức nhân đôi; đọc ngược cos 2a được hạ bậc. Cộng, trừ hai công thức cộng được tích thành tổng; đổi biến u = a + b, v = a − b được tổng thành tích.

➕ 1. Công thức cộng: gốc của mọi công thức biến đổi

Với mọi góc a, b (SGK Toán 11, bài Công thức lượng giác):

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b

tan(a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a tan b)

Công thức từ đâu ra? Hai điểm M(cos a; sin a) và N(cos b; sin b) trên đường tròn lượng giác tạo với gốc O góc a − b, nên tích vô hướng OM·ON = cos(a − b). Tính theo tọa độ thì tích vô hướng đó bằng cos a cos b + sin a sin b. Thay b bằng −b, rồi dùng sin x = cos(π/2 − x) sẽ ra các công thức còn lại. Vì vậy chỉ cần nhớ chắc một công thức là suy ra được cả nhóm.

Cách nhớ dấu: sin giữ nguyên dấu (sin của tổng có dấu cộng), cos đổi dấu (cos của tổng có dấu trừ). Công thức tan cần điều kiện a, b, a ± b ≠ π/2 + kπ.

Ví dụ. Tính giá trị chính xác của cos 15°:

cos 15° = (√6 + √2)/4

Ứng dụng: gộp a·sin x + b·cos x. Đọc ngược công thức cộng, mọi biểu thức dạng này gộp được thành một hàm sin duy nhất:

a sin x + b cos x = R sin(x + φ)

Chẳng hạn √3 sin x + cos x = 2 sin(x + π/6), nên biểu thức luôn nằm trong đoạn [−2; 2]. Đây là bước then chốt khi giải phương trình a sin x + b cos x = c và khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

✖️ 2. Công thức nhân đôi, nhân ba

Cho b = a trong công thức cộng, ta được ngay công thức nhân đôi:

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

tan 2a = 2tan a/(1 − tan²a)

Ba dạng của cos 2a có được nhờ sin²a + cos²a = 1. Chọn dạng nào là tùy đề bài: chỉ biết sin a thì dùng 1 − 2sin²a, chỉ biết cos a thì dùng 2cos²a − 1, cần phân tích thành nhân tử thì dùng cos²a − sin²a = (cos a − sin a)(cos a + sin a).

Áp dụng công thức cộng cho 3a = 2a + a rồi thay công thức nhân đôi vào, ta được công thức nhân ba:

sin 3a = 3sin a − 4sin³a, cos 3a = 4cos³a − 3cos a

Mẹo nhớ: “sin ba bằng ba sin trừ bốn sin mũ ba, cos ba bằng bốn cos mũ ba trừ ba cos”. Chú ý thứ tự ngược nhau: với sin, số hạng bậc nhất đứng trước; với cos, số hạng bậc ba đứng trước.

Ví dụ. Cho cos a = 1/3. Khi đó cos 2a = 2·(1/9) − 1 = −7/9, không cần biết a thuộc góc phần tư nào.

⬇️ 3. Công thức hạ bậc và góc chia đôi

Rút cos²a và sin²a từ hai dạng cuối của cos 2a, ta “hạ” bình phương xuống bậc nhất, đổi lại góc tăng gấp đôi:

sin²a = (1 − cos 2a)/2, cos²a = (1 + cos 2a)/2

Tương tự, rút từ công thức nhân ba: sin³a = (3sin a − sin 3a)/4 và cos³a = (3cos a + cos 3a)/4.

Thay a bằng a/2 ta được công thức góc chia đôi, dùng để tính giá trị lượng giác của các góc như 22,5° hay 15°: cos²(a/2) = (1 + cos a)/2. Khi khai căn phải chọn dấu theo góc phần tư của a/2. Nếu đặt t = tan(a/2) (với a ≠ π + k2π) thì mọi giá trị lượng giác của a đều viết được theo t:

sin a = 2t/(1 + t²), cos a = (1 − t²)/(1 + t²)

Khi nào dùng? Hạ bậc biến lũy thừa thành tổng các hàm bậc nhất, nên rất hay dùng khi tìm nguyên hàm (chẳng hạn ∫sin²x dx), giải phương trình bậc cao và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ. Hạ bậc hai lần:

sin⁴x = 3/8 − (1/2)cos 2x + (1/8)cos 4x

🔀 4. Biến đổi tích thành tổng

Viết cos(a − b) và cos(a + b) theo công thức cộng rồi cộng (hoặc trừ) vế theo vế: các số hạng sin a sin b (hoặc cos a cos b) triệt tiêu. Làm tương tự với sin(a − b) và sin(a + b), ta được ba công thức:

cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]

sin a sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]

sin a cos b = ½[sin(a − b) + sin(a + b)]

Đặc điểm chung: luôn có hệ số ½, góc hiệu a − b đứng trước, góc tổng a + b đứng sau. Riêng sin a sin b là hiệu hai côsin. Mẹo kiểm tra nhanh: cho a = b thì sin²a = ½(1 − cos 2a) phải không âm, nên cos(a − b) phải đứng trước dấu trừ.

Ví dụ. Một tích của hai giá trị “lẻ” trở thành tổng của hai giá trị đặc biệt:

cos 75° cos 15° = 1/4

🔁 5. Biến đổi tổng thành tích

Đọc ngược công thức tích thành tổng: đặt u = a + b, v = a − b, tức là a = (u + v)/2, b = (u − v)/2, ta được bốn công thức:

cos u ± cos v

sin u ± sin v

Mẹo nhớ: “cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin”. Góc thứ nhất luôn là nửa tổng, góc thứ hai là nửa hiệu. Hai công thức hay dùng kèm theo:

tan a ± tan b, sin x ± cos x

Khi nào dùng? Tổng thành tích đưa một tổng về dạng tích, nên là công cụ chính để giải phương trình dạng “tích bằng 0” và rút gọn phân thức lượng giác.

Ví dụ. sin 5x + sin 3x = 2 sin 4x cos x, nên phương trình sin 5x + sin 3x = 0 tương đương với sin 4x = 0 hoặc cos x = 0.

⚠️ Những lỗi hay gặp

Tách sin, cos như phép nhân phân phối. sin(a + b) ≠ sin a + sin b. Thử a = b = 30°: vế trái là sin 60° ≈ 0,866, vế phải là 1.
Nhầm dấu trong cos(a ± b). Côsin của tổng mang dấu trừ, côsin của hiệu mang dấu cộng.
Quên hệ số. cos²a = (1 + cos 2a)/2 chứ không phải 1 + cos 2a; tích thành tổng luôn có ½, tổng thành tích luôn có 2.
Đảo thứ tự trong sin a sin b. Đúng là ½[cos(a − b) − cos(a + b)]. Viết ngược sẽ cho sin²a âm, vô lý.
Dùng công thức tan khi không xác định. tan 2a cần cos 2a ≠ 0; tan(a + b) cần a + b ≠ π/2 + kπ. Công cụ báo “không xác định” thay vì đưa ra một số.
Chọn sai dấu khi khai căn công thức góc chia đôi. Dấu của cos(a/2), sin(a/2) phụ thuộc góc phần tư của a/2, không phải của a.

🎯 Trắc nghiệm luyện tập: mỗi nhóm công thức một câu

Chọn một đáp án cho mỗi câu. Đáp án đúng được tô xanh và lời giải hiện ngay bên dưới, kèm phân tích vì sao các phương án còn lại sai. Bạn có thể dùng tab Tính giá trị của công cụ để kiểm chứng lại.

➕ Công thức cộng Câu 1. Giá trị chính xác của sin 75° là:

✖️ Nhân đôi Câu 2. Cho sin a = 3/5. Giá trị của cos 2a là:

⬇️ Hạ bậc Câu 3. Dùng công thức hạ bậc, giá trị của cos²(π/8) là:

🔀 Tích → tổng Câu 4. Biến đổi tích 2 sin 3x cos x thành tổng, ta được:

🔁 Tổng → tích Câu 5. Giá trị của cos 75° + cos 15° là:

❓ Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Có những nhóm công thức biến đổi lượng giác nào cần nhớ?

Có năm nhóm chính: công thức cộng, công thức nhân đôi và nhân ba, công thức hạ bậc (kèm góc chia đôi), biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích. Tất cả đều suy ra từ công thức cộng, nên nắm chắc công thức cộng là nhớ được các nhóm còn lại.

Làm sao nhớ dấu trong công thức cộng?

Sin giữ nguyên dấu: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Cos đổi dấu: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Câu nhớ quen thuộc: “sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin, dấu đổi ngược”.

Khi nào nên dùng công thức hạ bậc?

Khi biểu thức có sin²x, cos²x, sin³x, cos³x hay sin⁴x mà cần đưa về bậc nhất: tìm nguyên hàm, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Đổi lại góc tăng gấp đôi, ví dụ cos²x = (1 + cos 2x)/2.

Tổng thành tích và tích thành tổng khác nhau thế nào?

Tích thành tổng đổi một tích như cos a cos b thành tổng có hệ số ½, hay dùng để rút gọn và tính nguyên hàm. Tổng thành tích làm ngược lại, đổi cos u + cos v thành 2cos((u + v)/2)cos((u − v)/2), hay dùng để giải phương trình vì đưa về dạng tích bằng 0.

Vì sao công cụ cho kết quả chính xác với góc 15°, 75° nhưng gần đúng với góc 20°?

Các góc là bội của 15° có sin, cos viết được bằng căn bậc hai của 2, 3, 6, nên công cụ tính chính xác. Góc như 20° không có dạng căn bậc hai đơn giản, nên công cụ tính gần đúng và gắn nhãn “Gần đúng” kèm dấu ≈.

Công cụ có phiên bản tiếng Anh không?

Có. Bấm nút EN ở góc công cụ để đổi toàn bộ giao diện, bảng công thức và lời giải sang tiếng Anh ngay trên trang, hoặc mở bài tiếng Anh bằng nút chọn ngôn ngữ của website.