Máy Tính Cung & Góc Lượng Giác – Công Thức Cung Liên Kết

Công cụ phía trên đưa một góc lượng giác bất kỳ, kể cả góc âm hay góc lớn hơn một vòng, về góc nhọn α ∈ [0; π/2] rồi đọc giá trị sin, cos, tan, cot từ bảng góc đặc biệt. Tab Đưa về góc nhọn trình bày đủ năm bước: đọc góc, bớt vòng quay, xác định điểm ngọn và góc phần tư, chọn công thức cung liên kết, thay giá trị, kèm hình đường tròn lượng giác. Tab Bảng cung liên kết tóm tắt năm nhóm công thức và bảng giá trị các góc đặc biệt từ 0 đến 2π. Phần dưới đây là lý thuyết theo chương trình Toán 11 (GDPT 2018): mỗi nhóm cung liên kết có công thức, cách nhớ và một ví dụ giải chi tiết. Cuối bài có 5 câu trắc nghiệm và 5 bài tập tự luyện nâng cao.

🧭 Quy trình 3 bước đưa góc bất kỳ về góc nhọn

1. Bớt vòng quay. Viết θ = θ₀ + k·2π (hay θ₀ + k·360°) với 0 ≤ θ₀ < 2π và k nguyên. Sin, côsin có chu kỳ 2π, tang, côtang có chu kỳ π nên mọi giá trị lượng giác của θ và θ₀ bằng nhau.
2. Xác định góc phần tư chứa điểm ngọn M của θ₀ để biết dấu. Mẹo nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”: góc phần tư I mọi giá trị dương, II chỉ sin dương, III chỉ tan và cot dương, IV chỉ cos dương.
3. Chọn cung liên kết để đưa về góc nhọn α: góc phần tư II viết θ₀ = π − α (cung bù), góc phần tư III viết θ₀ = π + α (cung hơn kém π), góc phần tư IV viết θ₀ = 2π − α, cho cùng giá trị với −α (cung đối).

Ví dụ nhanh. 2010° = 210° + 5·360°, và 210° thuộc góc phần tư III, 210° = 180° + 30°. Do đó:

↔️ 1. Cung đối nhau: α và −α (“cos đối”)

Điểm ngọn của hai cung α và −α đối xứng nhau qua trục hoành Ox: cùng hoành độ, tung độ trái dấu. Hoành độ là côsin, tung độ là sin, nên côsin giữ nguyên còn sin đổi dấu; tang và côtang là thương của sin và côsin nên cũng đổi dấu. Nói cách khác, côsin là hàm số chẵn; sin, tang, côtang là hàm số lẻ.

Ví dụ 1. Tính A = cos(−π/3) + sin(−π/6).

1. Côsin là hàm chẵn, bỏ dấu trừ: cos(−π/3) = 1/2.
2. Sin là hàm lẻ, đưa dấu trừ ra ngoài: sin(−π/6) = −1/2.
3. Cộng lại:

🪞 2. Cung bù nhau: α và π − α (“sin bù”)

Điểm ngọn của α và π − α đối xứng qua trục tung Oy: cùng tung độ, hoành độ trái dấu. Vì vậy sin giữ nguyên còn côsin đổi dấu, kéo theo tang và côtang đổi dấu. Đây là công thức dùng cho mọi góc ở góc phần tư II: viết θ = π − α (hay 180° − α).

Ví dụ 2. Tính B = sin(2π/3) · cos(5π/6).

1. 2π/3 = π − π/3, sin bù giữ nguyên: sin(2π/3) = √3/2.
2. 5π/6 = π − π/6, côsin đổi dấu: cos(5π/6) = −√3/2.
3. Nhân lại:

✖️ 3. Cung phụ nhau: α và π/2 − α (“phụ chéo”)

Điểm ngọn của α và π/2 − α đối xứng qua đường phân giác y = x, nên hoành độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia: sin và côsin đổi chỗ cho nhau, tang và côtang cũng vậy, và không có dấu trừ nào. Đây cũng là nguồn gốc tên gọi “côsin”: sin của góc phụ.

Ví dụ 3. Tính C = sin²20° + sin²70°.

1. 20° + 70° = 90° nên hai góc phụ nhau: sin 70° = cos 20°.
2. Thay vào: C = sin²20° + cos²20°.
3. Áp dụng hệ thức sin²x + cos²x = 1:

🔄 4. Cung hơn kém π: α và α + π (“hơn kém π tang, côtang”)

Điểm ngọn của α và α + π đối xứng qua gốc tọa độ O: cả hoành độ lẫn tung độ đều đổi dấu. Vì vậy sin và côsin cùng đổi dấu, còn tang, côtang là thương của hai số cùng đổi dấu nên giữ nguyên; đó cũng là lý do tang, côtang có chu kỳ π. Công thức này dùng cho góc ở góc phần tư III: viết θ = π + α.

Ví dụ 4. Tính D = tan(7π/6) + sin(7π/6).

1. Tách 7π/6 = π/6 + π.
2. Tang giữ nguyên: tan(7π/6) = √3/3.
3. Sin đổi dấu: sin(7π/6) = −1/2.
4. Cộng lại và quy đồng:

↪️ 5. Cung hơn kém π/2: α và α + π/2

Quay điểm ngọn M(cos α; sin α) thêm 90° ngược chiều kim đồng hồ, ta được điểm (−sin α; cos α). Đọc tọa độ: côsin của cung lớn bằng −sin α, sin của cung lớn bằng cos α. Cũng có thể suy ra từ hai nhóm trước: α + π/2 = π − (π/2 − α), dùng “sin bù” rồi “phụ chéo”. Mẹo nhớ: sin lớn bằng cos nhỏ, cos lớn bằng trừ sin nhỏ; tang và côtang đổi chéo và đổi dấu.

Ví dụ 5. Tính E = cos 120° · tan 120° bằng công thức cung hơn kém π/2.

1. Tách 120° = 30° + 90°.
2. Cos lớn bằng trừ sin nhỏ: cos 120° = −1/2.
3. Tang đổi thành trừ côtang: tan 120° = −√3.
4. Nhân lại:

Kiểm tra: cos x · tan x = sin x, và sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2, khớp với kết quả.

⚠️ Những lỗi hay gặp

1. Đổi dấu tất cả. Nghĩ rằng “cung liên kết thì đổi dấu” rồi viết cos(−α) = −cos α. Côsin là hàm chẵn nên giữ nguyên.
2. Quên đổi hàm ở cung phụ và cung hơn kém π/2. sin(π/2 − α) là cos α chứ không phải sin α.
3. Thêm dấu trừ cho cung phụ. Cung phụ không đổi dấu hàm nào; dấu trừ chỉ xuất hiện ở cung hơn kém π/2, chẳng hạn cos(α + π/2) = −sin α.
4. Nhầm chu kỳ. Tang có chu kỳ π nhưng sin, côsin có chu kỳ 2π: sin(α + π) = −sin α chứ không phải sin α.
5. Bớt vòng sai với góc âm. −750° = 330° + (−3)·360°, nên θ₀ = 330° chứ không phải 30°. Luôn kiểm tra 0° ≤ θ₀ < 360°.
6. Chọn α không nhọn. Với θ₀ = 210° phải viết 210° = 180° + 30° để có α = 30° nhọn, rồi mới tra bảng giá trị đặc biệt.

🎯 Trắc nghiệm luyện tập: mỗi dạng cung liên kết một câu

Chọn một đáp án cho mỗi câu. Đáp án đúng được tô xanh, đáp án sai tô đỏ, lời giải hiện ngay bên dưới kèm mục ⚠️ Bẫy phân tích vì sao các phương án nhiễu hay bị chọn nhầm dấu.

🏋️ Bài tập tự luyện nâng cao: mỗi dạng một bài

Mỗi bài rút gọn một biểu thức chứa nhiều cung liên kết đan xen. Hãy tự làm trước rồi mở lời giải để đối chiếu. Mẹo kiểm tra: thay một giá trị cụ thể, ví dụ x = π/6, vào cả biểu thức ban đầu lẫn kết quả.

❓ Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Cung liên kết là gì?

Cung liên kết là các cặp cung có tổng hoặc hiệu đặc biệt: đối nhau (α và −α), bù nhau (α và π − α), phụ nhau (α và π/2 − α), hơn kém π (α và α + π), hơn kém π/2 (α và α + π/2). Giá trị lượng giác của chúng bằng nhau hoặc đối nhau, có thể đổi sin thành cos, tan thành cot, nên dùng để đưa góc bất kỳ về góc nhọn.

Câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tang” nghĩa là gì?

Cos đối: hai cung đối nhau có côsin bằng nhau. Sin bù: hai cung bù nhau có sin bằng nhau. Phụ chéo: hai cung phụ nhau thì sin cung này bằng côsin cung kia, tang cung này bằng côtang cung kia. Hơn kém π tang: hai cung hơn kém π có tang và côtang bằng nhau. Các hàm còn lại thì đổi dấu, riêng cung phụ không đổi dấu.

Làm sao đưa góc 2010° về góc nhọn?

Bớt 5 vòng: 2010° = 210° + 5·360°. Góc 210° thuộc góc phần tư III nên viết 210° = 180° + 30° và dùng cung hơn kém π. Ví dụ sin 2010° = sin 210° = −sin 30° = −1/2, còn tan 2010° = tan 30° = √3/3.

Vì sao tan(α + π) = tan α nhưng sin(α + π) = −sin α?

Điểm ngọn của α + π đối xứng với điểm ngọn của α qua gốc O, nên cả sin và côsin đều đổi dấu. Tang là thương sin/côsin của hai số cùng đổi dấu nên giữ nguyên. Vì vậy tang, côtang có chu kỳ π, còn sin, côsin có chu kỳ 2π.

Công cụ nhận những kiểu nhập góc nào?

Số đo độ như 150, 225°, −750, 22.5 hoặc 45/2; radian có π như 7pi/6, 7π/6, −3pi/4, 7/6pi; radian thập phân như 2.5 khi chọn đơn vị Radian hoặc viết 2.5rad. Góc có π luôn được hiểu là radian, góc có dấu ° luôn là độ.

Khi nào công cụ cho kết quả chính xác, khi nào gần đúng?

Khi góc nhọn α là bội của 15° (π/12), sin, cos, tan, cot được viết chính xác bằng căn thức như √3/2 hay (√6 − √2)/4. Với góc khác, chẳng hạn 200° có α = 20°, công cụ vẫn rút gọn đúng từng bước nhưng giá trị cuối được làm tròn 4 chữ số và gắn nhãn “Gần đúng”.

🔗 Công cụ liên quan

• Công cụ tính giá trị lượng giác và đổi đơn vị góc
• Mô phỏng đường tròn lượng giác tương tác
• Công cụ tính hệ thức lượng giác cơ bản
• Máy tính & tra cứu công thức biến đổi lượng giác