Mô Phỏng Đường Tròn Lượng Giác Trực Quan Tương Tác

Mô phỏng phía trên vẽ đường tròn lượng giác bán kính 1 cùng hệ trục Oxy. Bạn kéo điểm M trên đường tròn, kéo thanh trượt từ 0 đến 2π hoặc gõ một góc bất kỳ như 1110 hay -pi/4. Đoạn màu xanh trên trục hoành là cos α, đoạn màu đỏ trên trục tung là sin α, còn giao điểm của tia OM với trục tan và trục cot cho ngay tan α và cot α. Bảng kết quả viết giá trị bằng căn thức khi góc là bội của 15°, kèm dấu và góc phần tư.

Đường tròn lượng giác là gì?

Theo sách giáo khoa Toán 11 (chương trình GDPT 2018), trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính R = 1, đã chọn:

• Điểm gốc A(1; 0), nơi bắt đầu mọi góc lượng giác.
• Chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ, chiều âm là chiều kim đồng hồ.

Với mỗi góc lượng giác (OA, OM) = α, có duy nhất một điểm M trên đường tròn, gọi là điểm biểu diễn của α. Ngược lại, mỗi điểm M ứng với vô số góc hơn kém nhau k2π (hay k·360°), vì quay thêm trọn vòng thì M trở về chỗ cũ.

Bốn điểm A(1; 0), B(0; 1), A'(−1; 0), B'(0; −1) chia đường tròn thành bốn cung phần tư, ứng với bốn góc phần tư I, II, III, IV theo chiều dương.

Định nghĩa sin, cos, tan, cot trên đường tròn

Gọi M(x_M; y_M) là điểm biểu diễn góc α. Khi đó:

Nói gọn: cos là hoành độ, sin là tung độ của M. Vì vậy M luôn có tọa độ M(cos α; sin α). Trong công cụ, hình chiếu của M xuống trục Ox được tô xanh, hình chiếu lên Oy được tô đỏ để bạn nhìn thấy ngay hai giá trị này.

Trục tan và trục cot

Ngoài hai trục tọa độ, đường tròn lượng giác còn hai trục phụ:

• Trục tan là đường thẳng x = 1, tiếp xúc với đường tròn tại A. Nếu đường thẳng OM cắt trục tan tại T thì tan α = y_T.
• Trục cot là đường thẳng y = 1, tiếp xúc với đường tròn tại B. Nếu đường thẳng OM cắt trục cot tại K thì cot α = x_K.

Hai kết quả này suy ra từ tam giác đồng dạng: tam giác OAT đồng dạng với tam giác tạo bởi O, M và hình chiếu của M trên Ox, nên y_T/1 = sin α / cos α. Khi M ở B hoặc B’ (góc π/2 + kπ), đường thẳng OM song song với trục tan nên tan α không xác định. Khi M ở A hoặc A’ (góc kπ), OM song song với trục cot nên cot α không xác định.

Hệ quả đọc ngay trên hình

1. Giới hạn của sin và cos. Mọi điểm M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1. Tan và cot thì nhận mọi giá trị thực.
2. Hệ thức cơ bản. Tam giác vuông có cạnh huyền OM = 1 và hai cạnh góc vuông |cos α|, |sin α|, nên theo định lý Pythagore sin²α + cos²α = 1.
3. Tính tuần hoàn. sin, cos chu kỳ 2π; tan, cot chu kỳ π.
4. Cung liên kết là các phép đối xứng. Điểm của −α đối xứng với M qua Ox (cos giữ nguyên, sin đổi dấu). Điểm của π − α đối xứng với M qua Oy (sin giữ nguyên, cos đổi dấu). Điểm của π + α đối xứng với M qua O (sin và cos cùng đổi dấu).

Dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư

Mẹo nhớ quen thuộc: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”. Góc phần tư I cả bốn giá trị dương; phần tư II chỉ sin dương; phần tư III chỉ tan (và cot) dương; phần tư IV chỉ cos dương. Khi kéo M qua từng phần tư trong công cụ, ô “Dấu” trong bảng kết quả đổi màu theo đúng quy tắc này.

Các điểm đặc biệt trên đường tròn

Công cụ đánh dấu 16 điểm ứng với các góc kπ/6 và kπ/4. Tọa độ của chúng chỉ gồm các số 0, ±1/2, ±√2/2, ±√3/2, ±1:

Nửa dưới đường tròn (góc phần tư III, IV) có tọa độ giống nửa trên nhưng sin đổi dấu, vì điểm của −α đối xứng với điểm của α qua trục Ox.

Bốn ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Biểu diễn góc 5π/6

5π/6 = 150° nằm giữa π/2 và π nên M thuộc góc phần tư II. Vì 5π/6 = π − π/6, điểm M đối xứng với điểm của π/6 qua trục Oy:

Kiểm tra dấu: phần tư II chỉ có sin dương, đúng với kết quả trên.

Ví dụ 2. Góc âm −π/4

Quay theo chiều kim đồng hồ một góc π/4 từ điểm A. Góc này cùng điểm biểu diễn với 7π/4 (tức 315°), thuộc góc phần tư IV:

Gõ -pi/4 vào ô nhập góc, công cụ tự đưa về 315° và ghi chú hai góc hơn kém nhau 360°.

Ví dụ 3. Góc 3π/2 và giá trị không xác định

Điểm biểu diễn 3π/2 là B'(0; −1), nằm trên trục tung, không thuộc góc phần tư nào. Ta có cos 3π/2 = 0, sin 3π/2 = −1.

Trên hình, đường thẳng OB’ song song với trục tan nên không có giao điểm T.

Ví dụ 4. Góc lớn 1110°

Chia cho 360°: 1110° = 30° + 3·360°. Quay đủ 3 vòng rồi thêm 30°, nên điểm biểu diễn trùng với điểm của 30°:

Những lỗi hay gặp

1. Nhầm sin là hoành độ. Sin là tung độ (trục đứng), cos là hoành độ (trục ngang). Nhớ thứ tự trong M(cos α; sin α): x trước, y sau.
2. Quay sai chiều với góc âm. Góc âm quay theo chiều kim đồng hồ. −π/4 nằm ở phần tư IV, không phải phần tư II.
3. Quên rằng một điểm ứng với vô số góc. π/6, 13π/6 và −11π/6 có cùng điểm biểu diễn, nên có cùng giá trị lượng giác.
4. Viết tan π/2 bằng một số rất lớn. Khi cos α = 0, tan α không xác định chứ không phải “vô cùng”. Công cụ hiện chữ “Không xác định” và không vẽ điểm T.

Câu hỏi thường gặp

Đường tròn lượng giác là gì?

Là đường tròn tâm O, bán kính 1 trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có điểm gốc A(1; 0) và chiều dương ngược chiều kim đồng hồ. Mỗi góc lượng giác α ứng với đúng một điểm M trên đường tròn, gọi là điểm biểu diễn của α.

Trên đường tròn lượng giác, sin là trục nào, cos là trục nào?

Cos α là hoành độ của điểm M, đọc trên trục ngang Ox. Sin α là tung độ của M, đọc trên trục đứng Oy. Vì vậy M luôn có tọa độ M(cos α; sin α).

Trục tan và trục cot nằm ở đâu?

Trục tan là đường thẳng x = 1, tiếp xúc với đường tròn tại A(1; 0). Trục cot là đường thẳng y = 1, tiếp xúc tại B(0; 1). Tia OM cắt trục tan tại T thì tan α là tung độ của T; cắt trục cot tại K thì cot α là hoành độ của K.

Làm sao nhớ dấu của sin, cos, tan, cot theo góc phần tư?

Dùng câu "Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos": góc phần tư I cả bốn giá trị dương, phần tư II chỉ sin dương, phần tư III chỉ tan và cot dương, phần tư IV chỉ cos dương.

Vì sao tan π/2 và cot 0 không xác định?

Tại π/2, điểm M ở B(0; 1) nên cos α = 0 và đường thẳng OM song song với trục tan, không có giao điểm. Tại 0, M ở A(1; 0) nên sin α = 0 và OM song song với trục cot.