Công Cụ Rút Gọn & Tính Giá Trị Biểu Thức Lượng Giác

Công cụ phía trên giải dạng bài quen thuộc nhất của chương Lượng giác: biết một giá trị lượng giác và khoảng chứa góc α, tính các giá trị còn lại. Bạn nhập sin α, cos α, tan α hoặc cot α dưới dạng số thập phân, phân số hay căn thức (ví dụ 3/5, -sqrt(3)/2), chọn khoảng của α. Lời giải dùng đúng các hệ thức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thích vì sao lấy dấu (+) hay (−), và có thể tính thêm sin 2α, cos 2α, tan 2α. Kết quả giữ nguyên dạng phân số, căn thức như bài làm trên lớp.

Các hệ thức lượng giác cơ bản

Với mọi góc α làm các biểu thức có nghĩa, ta có sáu hệ thức nền tảng (SGK Toán 11, bài Giá trị lượng giác của góc lượng giác):

Hai hệ thức cuối có được khi chia cả hai vế của sin²α + cos²α = 1 cho cos²α hoặc cho sin²α. Đây là “cầu nối” để đi từ tan sang cos, hay từ cot sang sin mà không cần biết góc α cụ thể.

Quy trình 3 bước: biết một giá trị, tìm các giá trị còn lại

1. Xét dấu. Từ khoảng chứa α, xác định góc phần tư rồi tra bảng dấu. Bước này cũng giúp phát hiện đề sai: chẳng hạn không có α thuộc (π; 3π/2) mà sin α = 0,6, vì ở đó sin âm.
2. Dùng hệ thức để tìm bình phương, rồi khai căn.
   • Biết sin: cos²α = 1 − sin²α.
   • Biết cos: sin²α = 1 − cos²α.
   • Biết tan: cos²α = 1/(1 + tan²α), rồi sin α = tan α · cos α.
   • Biết cot: sin²α = 1/(1 + cot²α), rồi cos α = cot α · sin α.

   Khai căn cho hai giá trị ±. Chọn dấu theo bước 1: đây là chỗ đề bài cho khoảng của α để dùng.

3. Tính tan, cot bằng tan α = sin α / cos α và cot α = 1 / tan α. Đối chiếu dấu một lần nữa.

Công thức nhân đôi

Khi đã có sin α và cos α, các giá trị của góc 2α suy ra trực tiếp (SGK Toán 11, bài Công thức lượng giác):

Dấu của sin 2α, cos 2α tự đúng sau khi thay số, không cần xét lại góc phần tư của 2α. Nếu cos 2α = 0 (chẳng hạn α = π/4) thì tan 2α không xác định.

Tính giá trị biểu thức khi biết tan α

Với biểu thức đẳng cấp (mọi số hạng ở tử và mẫu cùng bậc theo sin α, cos α), không cần tìm sin α, cos α. Chia cả tử và mẫu cho cos α (hoặc cos²α với bậc hai) để mọi thứ quy về tan α:

Với tích sin α cos α, viết mẫu là 1 = sin²α + cos²α:

Rút gọn biểu thức lượng giác

Ý tưởng chung: đưa về sin và cos, nhóm thành sin²x + cos²x hoặc các hằng đẳng thức, rồi dùng công thức nhân đôi nếu cần. Một số biến đổi hay gặp:

Bốn ví dụ mẫu có lời giải

Ví dụ 1. Biết sin α = 3/5 với π/2 < α < π

α thuộc góc phần tư II nên cos α < 0.

Bấm nút mẫu đầu tiên trong công cụ và bật ô nhân đôi để xem lại từng bước.

Ví dụ 2. Biết tan α = 2 với π < α < 3π/2

α thuộc góc phần tư III nên sin α và cos α đều âm.

Kết quả được trục căn ở mẫu: 1/√5 = √5/5.

Ví dụ 3. Tính biểu thức khi biết tan α = 2

Tính A = (2 sin α + cos α)/(sin α − 3 cos α) và B = sin α cos α.

Kiểm tra với ví dụ 2: (−2√5/5)(−√5/5) = 2/5. Biểu thức B không phụ thuộc α ở phần tư I hay III, vì sin và cos cùng đổi dấu.

Ví dụ 4. Rút gọn P = (1 − cos²x)(1 + cot²x)

Biểu thức không phụ thuộc x, miễn là cot x xác định.

Những lỗi hay gặp

1. Khai căn mà quên dấu ±. cos²α = 16/25 cho hai khả năng ±4/5. Bỏ qua bước chọn dấu là sai một nửa đáp án.
2. Chọn dấu theo giá trị đã biết thay vì theo góc phần tư. sin α dương không có nghĩa cos α dương: ở phần tư II, cos α âm.
3. Dùng 1 + tan²α = 1/sin²α. Đúng là 1 + tan²α = 1/cos²α; cot mới đi với sin.
4. Không kiểm tra điều kiện |sin α| ≤ 1. Đề cho sin α = 5/4 là vô lý. Công cụ báo lỗi ngay thay vì tính tiếp.
5. Để căn ở mẫu. Nên viết √5/5 thay cho 1/√5 theo quy ước trình bày.

Câu hỏi thường gặp

Biết sin α thì tính cos α như thế nào?

Dùng sin²α + cos²α = 1 để có cos²α = 1 − sin²α, rồi khai căn được hai giá trị cộng trừ. Chọn dấu theo góc phần tư của α: cos dương ở phần tư I và IV, âm ở phần tư II và III.

Vì sao đề bài phải cho khoảng chứa góc α?

Vì khai căn luôn cho hai giá trị đối nhau. Khoảng chứa α cho biết góc phần tư, từ đó biết dấu của sin, cos, tan, cot để chọn đúng một giá trị.

Biết tan α thì tính sin α và cos α ra sao?

Dùng 1 + tan²α = 1/cos²α để có cos²α = 1/(1 + tan²α), khai căn và chọn dấu theo góc phần tư. Sau đó sin α = tan α · cos α và cot α = 1/tan α.

Công thức nhân đôi gồm những công thức nào?

sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α; tan 2α = 2tan α/(1 − tan²α), xác định khi cos 2α khác 0.

Biết tan α, tính biểu thức (a sin α + b cos α)/(c sin α + d cos α) thế nào cho nhanh?

Chia cả tử và mẫu cho cos α để được (a tan α + b)/(c tan α + d), rồi thay giá trị tan α. Cách này không cần tìm sin α, cos α và không phụ thuộc góc phần tư.