Công Cụ Tính Giá Trị Lượng Giác & Đổi Đơn Vị Góc (Độ – Radian)

Máy tính phía trên đổi đơn vị giữa độ và radian, xác định góc phần tư trên đường tròn lượng giác, rồi tra giá trị sin, cos, tan, cot. Với góc dạng k·15° hay k·π/12, kết quả được viết bằng căn thức như trong sách giáo khoa, kèm giá trị thập phân làm tròn 4 chữ số.

Góc lượng giác và đơn vị đo

Một góc lượng giác được xác định bởi tia đầu và tia cuối. Chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. Góc âm quay theo chiều kim đồng hồ. Hai góc hơn kém nhau bội của 360° thì cùng tia cuối, nên có cùng giá trị lượng giác.

Độ và radian là hai đơn vị thông dụng. Một vòng tròn là 360°, cũng là 2π radian. Công thức đổi:

Vì vậy 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6 và 15° = π/12. Phân số đứng trước π luôn được rút gọn.

Đường tròn lượng giác và dấu của bốn hàm

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính 1. Tia Ox là gốc. Điểm M trên đường tròn ứng với góc α có hoành độ cos α và tung độ sin α. Từ đó tan α = sin α / cos α khi cos α khác 0, và cot α = cos α / sin α khi sin α khác 0.

Trên các trục, một trong hai hàm sin hoặc cos bằng 0 nên tan hoặc cot không xác định vì phải chia cho 0. Cụ thể: tan không xác định tại 90° + k·180°, cot không xác định tại k·180°.

Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

Các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° là nền của bảng. Góc 15° và 75° suy ra từ công thức cộng và trừ: 15° = 45° − 30°, 75° = 45° + 30°.

Mọi góc k·15° đều đưa về một góc trong bảng này bằng cung liên kết, rồi gắn dấu theo góc phần tư.

Công thức cung liên kết

Ba nhóm hay dùng khi đổi một góc lớn về góc nhọn:

Cos đối nghĩa là cos của góc đối bằng chính cos của góc đó. Sin bù nghĩa là sin của góc bù đến 180° vẫn bằng sin của góc nhọn, còn cos đổi dấu. Phụ chéo đổi sin thành cos khi hai góc phụ nhau.

Thêm hai công thức để đi sang góc phần tư III và IV:

Ba ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Góc 30° và radian tương ứng

Đổi 30° sang radian rồi tính bốn giá trị.

Dạng thập phân làm tròn 4 chữ số: sin ≈ 0,5000; cos ≈ 0,8660; tan ≈ 0,5774; cot ≈ 1,7321. Phân số và căn thức là đáp số đúng.

Ví dụ 2. Góc 120° trên đường tròn

120° = 2π/3 thuộc góc phần tư II. Góc đối chiếu là 60°.

Góc −60° không nằm ở phần tư II. Nó cùng tia với 300°, thuộc góc phần tư IV, nên sin âm và cos dương.

Ví dụ 3. Giá trị không xác định

Tại 90° = π/2, điểm M nằm trên tia Oy dương: sin = 1, cos = 0. Tan phải chia cho cos nên không xác định. Cot bằng 0.

Ngược lại, tại 0° thì sin = 0, cos = 1, tan = 0 và cot không xác định vì chia cho sin.

Những lỗi hay gặp

1. Quên rút gọn radian. 90/180 π phải thành π/2, không để phân số chưa tối giản.
2. Giữ dấu của góc nhọn khi góc đã sang phần tư khác. Sin 120° bằng sin 60°, nhưng cos 120° là đối của cos 60°.
3. Viết tan 90° bằng một số rất lớn. Khi cos bằng 0, tan không có giá trị, không làm tròn thành một số thập phân.
4. Nhầm góc âm với góc bù. −30° cùng tia với 330°, không phải với 150°.

Câu hỏi thường gặp

Đổi độ sang radian bằng công thức nào?

Nhân số đo độ với π rồi chia cho 180. Ví dụ 30° bằng 30π/180, rút gọn thành π/6. Ngược lại, nhân số đo radian với 180° rồi chia cho π.

Vì sao tan 90° không xác định?

Tan bằng sin chia cho cos. Tại 90°, cos bằng 0 và sin bằng 1, nên phép chia không có nghĩa. Cot của 90° thì bằng 0.

Góc phần tư quyết định dấu của sin, cos, tan, cot thế nào?

Phần tư I: cả bốn hàm dương. Phần tư II: chỉ sin dương. Phần tư III: tan và cot dương. Phần tư IV: chỉ cos dương. Trên các trục, tan hoặc cot có thể không xác định.

Sin 15° viết bằng căn thức nào?

Sin 15° bằng (căn 6 trừ căn 2) chia 4. Cos 15° bằng (căn 6 cộng căn 2) chia 4. Tan 15° bằng 2 trừ căn 3.

Góc âm hoặc góc lớn hơn 360° được tính ra sao?

Cộng hoặc trừ bội của 360° để đưa về góc cùng tia trong đoạn từ 0° đến dưới 360°, rồi tính giá trị lượng giác của góc đó. Ví dụ âm 60° cùng tia với 300°.