Công Cụ Tính Đạo Hàm Trực Tuyến – Lời Giải Chi Tiết Từng Bước
Nhập f(x) theo biến x. Có thể tính đạo hàm cấp 1 hoặc cấp 2, rồi viết tiếp tuyến tại một hoành độ x0.
Máy tính phía trên tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số một biến, rồi rút gọn kết quả. Nếu bạn nhập thêm hoành độ x0, công cụ tính f(x0), f′(x0) và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó. Mỗi bước nêu quy tắc đã dùng: đạo hàm của tổng, tích, thương hoặc hàm hợp.
Đạo hàm là gì?
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng chứa x0. Nếu giới hạn sau tồn tại, ta gọi nó là đạo hàm của f tại x0:
Đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1: f′′(x) = (f′(x))′. Cấp 1 mô tả độ dốc. Cấp 2 cho biết độ dốc đang tăng hay giảm, nên dùng khi xét tính lồi, lõm và cực trị.
Bảng đạo hàm cơ bản và hàm hợp
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| c (hằng số) | 0 |
| x^n | n x^(n-1) |
| √x | 1/(2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | 1/cos²x |
| cot x | −1/sin²x |
| e^x | e^x |
| a^x | a^x ln a |
| ln x | 1/x |
Nếu y = f(u) và u = u(x) thì dùng quy tắc hàm hợp:
Ví dụ (e^(2x))′ = 2e^(2x) và (sin(x²))′ = 2x cos(x²).
Quy tắc tính đạo hàm
Với một tổng, hãy đạo hàm từng hạng tử. Với một tích hai hàm đều chứa x, đừng chỉ đạo hàm từng thừa số rồi nhân lại. Với một thương, giữ nguyên mẫu số bình phương ở dưới.
Ý nghĩa hình học và vật lý
Về hình học, f′(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M(x0, y0), với y0 = f(x0). Nếu tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc α thì:
Phương trình tiếp tuyến:
Về vật lý, nếu s(t) là quãng đường theo thời gian thì s′(t) là vận tốc tức thời và s′′(t) là gia tốc. Đạo hàm dương khi hàm đang tăng, đạo hàm âm khi hàm đang giảm, đạo hàm bằng 0 tại các điểm dừng.
Ba ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Đa thức
Tính đạo hàm của f(x) = x³ − 3x² + 2.
Mỗi hạng tử dùng công thức (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹. Hằng số 2 có đạo hàm bằng 0.
Ví dụ 2. Thương
Với f(x) = (2x+1)/(x−1), đặt u = 2x+1, v = x−1. Khi đó u′ = 2, v′ = 1.
Hàm số và đạo hàm đều không xác định tại x = 1 vì mẫu số bằng 0.
Ví dụ 3. Tiếp tuyến của hàm mũ
Cho f(x) = e^(2x) và x0 = 0.
Tiếp tuyến tại điểm (0; 1) có hệ số góc 2.
Những lỗi hay gặp
- Đạo hàm tích như thể đó là một lũy thừa. (sin x · cos x)′ không bằng cos x · (−sin x) theo kiểu chỉ giữ một hạng. Phải cộng cả hai hạng u′v và uv′.
- Quên mẫu số khi đạo hàm thương. Tử số là u′v − uv′, mẫu số là v².
- Quên nhân đạo hàm hàm trong. (sin(2x))′ = cos(2x) · 2, không dừng ở cos(2x).
- Viết tiếp tuyến khi hàm không xác định tại x0. Cần có f(x0) và f′(x0) đều là số thực.
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm cấp 1 cho biết điều gì?
Đạo hàm cấp 1 tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x0. Nó cũng cho biết hàm đang tăng hay giảm tại lân cận điểm đó.
Khi nào cần đạo hàm cấp 2?
Đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của f phẩy. Nó được dùng để xét tính lồi, lõm của đồ thị và để lập bảng biến thiên khi tìm cực trị.
Phương trình tiếp tuyến được viết thế nào?
Tại điểm x0, nếu y0 bằng f(x0) và f phẩy của x0 tồn tại, tiếp tuyến là y = f phẩy(x0) nhân (x trừ x0) cộng y0.
Đạo hàm của thương u trên v tính ra sao?
Đạo hàm của u chia v bằng (u phẩy nhân v trừ u nhân v phẩy) chia cho v bình phương, với điều kiện v khác 0.
Vì sao đạo hàm của ln x bằng 1 phần x?
Hàm ln x là hàm ngược của e mũ x. Đạo hàm của hàm ngược tại y = ln x bằng 1 chia cho đạo hàm của e mũ y, mà đạo hàm đó chính là e mũ y, tức là x. Kết quả bằng 1/x với x lớn hơn 0.