Công Cụ Tìm Nguyên Hàm & Tính Tích Phân Từng Bước

Máy tính phía trên có hai việc. Tab nguyên hàm tìm F(x) + C sao cho F′(x) = f(x). Tab tích phân xác định tính tích phân từ a đến b theo công thức Newton–Leibniz, viết kết quả đúng dạng phân số hoặc căn thức và kèm số thập phân làm tròn 4 chữ số.

Nguyên hàm và tích phân xác định

Hàm F được gọi là một nguyên hàm của f trên khoảng K nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm khác có dạng F(x) + C, với C là hằng số.

Tích phân xác định trên đoạn [a; b], khi f liên tục trên đoạn đó, là một số. Với a nhỏ hơn b và f không âm, số này bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Bảng nguyên hàm chuẩn SGK 12

Đổi biến số và tích phân từng phần

Đổi biến khi trong hàm số có một thừa số gần giống đạo hàm của biểu thức còn lại. Đặt u = u(x), đổi dx theo du, tính nguyên hàm theo u rồi thay lại x.

Ví dụ ∫ 2x e^(x²) dx. Đặt u = x² thì du = 2x dx, nên tích phân trở thành ∫ eᵘ du = eᵘ + C = e^(x²) + C.

Tích phân từng phần dùng khi hàm số là tích của hai loại khác nhau, chẳng hạn đa thức với mũ, đa thức với lượng giác, hoặc đa thức với ln. Chọn u để đạo hàm của u đơn giản hơn, dv là phần dễ lấy nguyên hàm.

Với ∫ x e^x dx, chọn u = x, dv = e^x dx. Khi đó du = dx, v = e^x, nên kết quả là x e^x − ∫ e^x dx = (x − 1) e^x + C.

Công thức Newton–Leibniz

Nếu F là một nguyên hàm của f và f liên tục trên [a; b] thì:

Thứ tự làm bài gồm ba bước: tìm F(x), viết F(b) − F(a), rồi thay số. Nếu a lớn hơn b, kết quả trái dấu với tích phân lấy theo chiều ngược lại. Nếu f không liên tục trên đoạn, chẳng hạn mẫu số triệt tiêu ở giữa đoạn, công thức không được áp dụng trực tiếp.

Diện tích và thể tích

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường x = a, x = b, khi f liên tục, là:

Nếu f đổi dấu, phải chia đoạn tại các nghiệm của f(x) = 0 rồi cộng các diện tích thành phần. Diện tích giữa hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) là tích phân của |f(x) − g(x)|.

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng dưới y = f(x) quanh trục Ox, với f liên tục trên [a; b], là:

Ba ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Nguyên hàm lũy thừa

Tìm nguyên hàm của x².

Kiểm tra bằng cách đạo hàm: (x³/3 + C)′ = x².

Ví dụ 2. Tích phân xác định

Tính ∫ từ 0 đến 1 của x² dx.

Ví dụ 3. Phân thức và logarit

Nguyên hàm của (2x+1)/(x−1) trên khoảng không chứa 1:

Muốn tính tích phân xác định, cận a và b phải cùng nằm về một phía của điểm x = 1.

Những lỗi hay gặp

1. Quên hằng số C ở nguyên hàm. Tích phân xác định thì C bị trừ đi nên không còn trong đáp số.
2. Dùng Newton–Leibniz khi hàm gián đoạn. Ví dụ (2x+1)/(x−1) không liên tục tại x = 1, nên không lấy tích phân từ 0 đến 2 theo cách này.
3. Sai bậc của lũy thừa. Nguyên hàm của xⁿ là xⁿ⁺¹ chia cho n+1, không phải nhân với n.
4. Bỏ dấu trị tuyệt đối của ln. Nguyên hàm của 1/x trên khoảng âm là ln|x| + C, không viết ln x khi x âm.

Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm khác tích phân xác định ở điểm nào?

Nguyên hàm là một họ hàm số F(x) + C có đạo hàm bằng f(x). Tích phân xác định từ a đến b là một số, bằng F(b) trừ F(a) khi f liên tục trên đoạn đó.

Hằng số C trong nguyên hàm có nghĩa gì?

Hai nguyên hàm của cùng một hàm số trên một khoảng chỉ khác nhau một hằng số. C ghi nhận họ tất cả các nguyên hàm đó. Khi tính tích phân xác định, C bị trừ đi nên không còn trong kết quả.

Công thức Newton–Leibniz phát biểu thế nào?

Nếu F là một nguyên hàm của f và f liên tục trên đoạn từ a đến b thì tích phân từ a đến b của f(x) dx bằng F(b) trừ F(a).

Khi nào dùng tích phân từng phần?

Khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm, ví dụ đa thức với hàm mũ, đa thức với sin hoặc cos, hay biểu thức có ln. Chọn u sao cho đạo hàm của u đơn giản hơn, còn dv là phần dễ lấy nguyên hàm.

Tích phân xác định dùng để tính diện tích ra sao?

Nếu f liên tục và không âm trên đoạn từ a đến b, diện tích hình thang cong bằng tích phân từ a đến b của f(x) dx. Nếu f đổi dấu thì lấy tích phân của trị tuyệt đối của f, hoặc chia đoạn tại các điểm f bằng 0.