Công Cụ Tính Giới Hạn Hàm Số Trực Tuyến – Khử Dạng Vô Định Từng Bước

Máy tính phía trên tính giới hạn của hàm số một biến khi x tiến tới một số thực hoặc tiến ra vô cực. Nếu phép thế ra dạng vô định, lời giải nêu rõ dạng đó rồi khử bằng phân tích nhân tử, nhân lượng liên hợp hoặc quy tắc L’Hôpital. Cuối cùng là giá trị chính xác và một dãy số xấp xỉ để đối chiếu.

Giới hạn hàm số là gì?

Ta nói lim f(x) = L khi x tiến tới x0, nếu f(x) tiến tới số L khi x tiến tới x0 mà x khác x0. Giá trị f(x0) có thể không tồn tại. Điều cần là các giá trị lân cận.

Giới hạn bên phải viết x → x0+, chỉ lấy x lớn hơn x0. Giới hạn bên trái viết x → x0−. Giới hạn hai phía tồn tại khi hai giới hạn một phía tồn tại và bằng nhau.

Khi x tăng không giới hạn, ta viết x → +∞. Khi x giảm không giới hạn, ta viết x → −∞.

Các định lý về giới hạn hữu hạn

Nếu các giới hạn của u(x) và v(x) khi x tiến tới x0 đều hữu hạn, thì:

Hằng số kéo ra ngoài dấu giới hạn. Hàm hợp liên tục cho phép đưa giới hạn vào trong: nếu lim u = a và f liên tục tại a thì lim f(u(x)) = f(a). Với đa thức, hàm lượng giác, căn thức và hàm mũ trên tập xác định của chúng, giới hạn tại một điểm thuộc tập đó bằng chính giá trị hàm.

Bốn dạng vô định

Phép thế trực tiếp đôi khi không cho một số. Bốn dạng cần biến đổi thêm là:

• 0/0: tử và mẫu cùng tiến về 0. Ví dụ (x² − 4)/(x − 2) khi x → 2.
• ∞/∞: tử và mẫu cùng tiến ra vô cực. Ví dụ (2x² + 1)/(3x² − x) khi x → +∞.
• 0 · ∞: một thừa số tiến về 0, thừa số kia tiến ra vô cực. Thường đưa về thương.
• ∞ − ∞: hiệu hai biểu thức cùng tiến ra vô cực. Thường quy đồng hoặc đặt nhân tử chung.

Các dạng 1^∞, 0^0 và ∞^0 cũng vô định, nhưng bốn dạng trên là nhóm gặp nhiều nhất ở chương giới hạn lớp 11 và 12.

Quy tắc L’Hôpital

Nếu giới hạn của u(x)/v(x) có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, và các đạo hàm u′, v′ tồn tại gần điểm đang xét, v′ khác 0, thì:

Đạo hàm tử và mẫu riêng, không dùng đạo hàm của cả thương. Nếu thương mới vẫn vô định, áp dụng thêm một lần. Quy tắc dùng được cho x tiến tới số hữu hạn và cho x tiến ra vô cực. Không dùng khi mẫu bằng 0 nhưng tử khác 0: lúc đó giới hạn là vô cực hoặc không tồn tại, tùy từng phía.

Với phân thức hữu tỉ khi x → ±∞, cách gọn hơn là so bậc. Chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x. Nếu bậc tử bằng bậc mẫu, giới hạn bằng tỉ số hai hệ số cao nhất. Nếu bậc tử thấp hơn, giới hạn bằng 0. Nếu bậc tử cao hơn, giới hạn là +∞ hoặc −∞.

Ba ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Dạng 0/0, phân tích nhân tử

Tính lim (x² − 4)/(x − 2).

Thay x = 2 được (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0. Phân tích x² − 4 = (x − 2)(x + 2), rồi giản ước khi x ≠ 2:

Hàm số không xác định tại x = 2, nhưng giới hạn bằng 4. Trên đồ thị, đó là một lỗ tại điểm (2; 4) của đường thẳng y = x + 2.

Ví dụ 2. Dạng 0/0, nhân lượng liên hợp

Tính lim (√(x+1) − 1)/x.

Thay x = 0 được (1 − 1)/0 = 0/0. Nhân tử và mẫu với √(x+1) + 1:

Ví dụ 3. Dạng 0/0, quy tắc L’Hôpital

Tính lim (1 − cos x)/x².

Thay x = 0 được 0/0. Đạo hàm tử là sin x, đạo hàm mẫu là 2x, vẫn còn dạng 0/0. Đạo hàm lần nữa:

Cùng kiểu đó, lim (2x²+1)/(3x²−x) = 2/3 vì đây là dạng ∞/∞ và hai bậc đều bằng 2. Chia cho x² rồi cho x → +∞, các số hạng 1/x và 1/x² biến mất.

Những lỗi hay gặp

1. Rút gọn rồi thay số vào chỗ mẫu vẫn bằng 0. Nhân tử chung chỉ được giản ước khi nói về giới hạn, vì x khác x0.
2. Dùng L’Hôpital khi chưa có dạng 0/0 hoặc ∞/∞. Nếu tử khác 0 và mẫu bằng 0, hãy xét từng phía.
3. Đạo hàm cả phân thức rồi mới xét giới hạn. Quy tắc yêu cầu đạo hàm tử và đạo hàm mẫu riêng.
4. Kết luận giới hạn hai phía khi hai phía khác nhau. lim 1/x khi x → 0 không tồn tại, vì bên phải là +∞ và bên trái là −∞.

Câu hỏi thường gặp

Giới hạn khác giá trị của hàm tại điểm đó như thế nào?

Giới hạn khi x tiến tới x0 chỉ phụ thuộc các giá trị f(x) với x khác x0. Hàm có thể không xác định tại x0 mà giới hạn vẫn tồn tại, như (x mũ 2 trừ 4) chia (x trừ 2) khi x tiến tới 2.

Khi nào giới hạn hai phía không tồn tại?

Khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải không bằng nhau, hoặc khi ít nhất một phía không tồn tại. Ví dụ 1/x khi x tiến tới 0 có bên phải là dương vô cực và bên trái là âm vô cực.

Dạng 0/0 được khử bằng cách nào?

Với phân thức đa thức, phân tích nhân tử và giản ước nhân tử chung. Nếu có căn thức ở tử, nhân lượng liên hợp. Nếu hai cách đó chưa gọn, dùng quy tắc L'Hôpital: đạo hàm tử và mẫu riêng rồi tính lại giới hạn.

Quy tắc L'Hôpital áp dụng cho những dạng nào?

Chỉ áp dụng cho dạng 0/0 và dạng vô cực trên vô cực. Không dùng khi tử khác 0 còn mẫu bằng 0. Có thể lặp lại quy tắc nếu thương các đạo hàm vẫn còn vô định.

Giới hạn của phân thức hữu tỉ khi x tiến ra vô cực tính ra sao?

So bậc tử và bậc mẫu. Bằng nhau thì giới hạn là tỉ số hai hệ số cao nhất. Bậc tử thấp hơn thì giới hạn bằng 0. Bậc tử cao hơn thì giới hạn là dương hoặc âm vô cực, tùy dấu của hệ số và tính chẵn lẻ của hiệu bậc.