Công Cụ Lập Bảng Biến Thiên & Khảo Sát Chiều Biến Thiên Hàm Số
Chọn dạng hàm số và nhập hệ số (số nguyên, số thập phân hoặc phân số p/q). Công cụ tìm tập xác định, tính y', giải y' = 0, lập bảng biến thiên chuẩn SGK Toán 12 rồi kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Công cụ phía trên lập bảng biến thiên cho năm dạng hàm số trong chương trình Toán 12: hàm bậc ba, hàm nhất biến, hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất, hàm trùng phương và hàm bậc hai. Lời giải đi đúng năm bước của sách giáo khoa: tìm tập xác định, tính đạo hàm, giải y’ = 0 và tìm điểm gián đoạn, lập bảng biến thiên, rồi kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị. Mọi nghiệm được giữ ở dạng chính xác, kể cả phân số và căn thức.
Bảng biến thiên là gì?
Bảng biến thiên là bảng tóm tắt sự thay đổi của hàm số y = f(x) trên tập xác định. Bảng có ba dòng:
- Dòng x: các mốc sắp xếp tăng dần, gồm −∞, các nghiệm của y’ = 0, các điểm hàm số không xác định và +∞.
- Dòng y’: dấu của đạo hàm trên từng khoảng (+ hoặc −), số 0 tại nghiệm của đạo hàm, hai vạch song song || tại điểm không xác định.
- Dòng y: mũi tên đi lên ↗ trên khoảng đồng biến, mũi tên đi xuống ↘ trên khoảng nghịch biến, kèm giá trị cực đại, cực tiểu và các giới hạn ở hai đầu mũi tên.
Quy tắc xét dấu đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Định lý về tính đơn điệu trong SGK Toán 12 phát biểu:
Nếu f'(x) ≥ 0 trên K và dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm, hàm số vẫn đồng biến trên K. Ví dụ y = x³ có y’ = 3x² ≥ 0, chỉ bằng 0 tại x = 0, nên đồng biến trên ℝ và không có cực trị.
Để xét dấu đạo hàm nhanh, nhớ hai quy tắc quen thuộc:
- Nhị thức bậc nhất ax + b: “phải cùng, trái khác”. Bên phải nghiệm x = −b/a, nhị thức cùng dấu với a; bên trái thì trái dấu với a.
- Tam thức bậc hai ax² + bx + c: nếu Δ > 0 thì “trong trái, ngoài cùng”: giữa hai nghiệm trái dấu với a, ngoài hai nghiệm cùng dấu với a. Nếu Δ < 0, tam thức luôn cùng dấu với a. Nếu Δ = 0, tam thức cùng dấu với a trừ tại nghiệm kép.
Dấu hiệu cực trị: khi đi qua x0 mà f'(x) đổi dấu từ + sang − thì x0 là điểm cực đại; đổi từ − sang + thì là điểm cực tiểu. Nếu đạo hàm bằng 0 nhưng không đổi dấu, đó không phải cực trị.
Cách lập bảng biến thiên chuẩn SGK Toán 12
- Tìm tập xác định D. Hàm đa thức có D = ℝ. Hàm phân thức loại các giá trị làm mẫu số bằng 0.
- Tính đạo hàm y’. Với hàm phân thức, dùng công thức đạo hàm của thương; mẫu số của y’ luôn dương nên dấu y’ là dấu của tử số.
- Giải y’ = 0 và tìm điểm gián đoạn. Giữ lại các nghiệm thuộc D. Tính các giới hạn tại vô cực và giới hạn một bên tại điểm gián đoạn.
- Lập bảng. Ghi các mốc tăng dần ở dòng x, xét dấu y’ trên từng khoảng, vẽ mũi tên và điền giá trị ở dòng y.
- Kết luận. Đọc bảng để nêu khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị.
Lưu ý cách viết: với hàm phân thức, kết luận “đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞)”, không viết hợp hai khoảng thành (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
4 ví dụ mẫu
Bạn có thể nhập đúng hệ số của từng ví dụ vào công cụ để đối chiếu từng bước.
Ví dụ 1. Hàm bậc ba y = x³ − 3x² + 2
Tập xác định D = ℝ. Đạo hàm y’ = 3x² − 6x = 3x(x − 2), nên y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. Ta có y(0) = 2, y(2) = −2. Hệ số a = 1 > 0 nên y → −∞ khi x → −∞ và y → +∞ khi x → +∞.
| x | −∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | − | 0 | + | ||
| y | −∞ | ↗ | 2 | ↘ | −2 | ↗ | +∞ |
Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −2.
Ví dụ 2. Hàm trùng phương y = −x⁴ + 2x² + 1
D = ℝ. Đạo hàm y’ = −4x³ + 4x = −4x(x² − 1), nên y’ = 0 khi x = −1, x = 0 hoặc x = 1. Ta có y(±1) = 2 và y(0) = 1. Hệ số a = −1 < 0 nên hai đầu đồ thị cùng đi xuống −∞.
| x | −∞ | −1 | 0 | 1 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | − | 0 | + | 0 | − | ||
| y | −∞ | ↗ | 2 | ↘ | 1 | ↗ | 2 | ↘ | −∞ |
Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Hàm số đạt cực đại tại x = ±1 với yCĐ = 2, đạt cực tiểu tại x = 0 với yCT = 1.
Ví dụ 3. Hàm nhất biến y = (2x + 1)/(x − 1)
D = ℝ \ {1}. Đạo hàm y’ = −3/(x − 1)² < 0 với mọi x ≠ 1, nên y’ = 0 vô nghiệm. Giới hạn: lim y = 2 khi x → ±∞, lim y = −∞ khi x → 1⁻, lim y = +∞ khi x → 1⁺.
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y' | − | || | − | ||
| y | 2 | ↘ | −∞ || +∞ | ↘ | 2 |
Kết luận: hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞), không có cực trị. Đồ thị có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2.
Ví dụ 4. Hàm hữu tỉ y = (x² − x + 1)/(x − 1)
D = ℝ \ {1}. Theo công thức đạo hàm của thương:
y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2, đều thuộc D. Ta có y(0) = −1, y(2) = 3. Tử số tại x = 1 bằng 1 > 0, nên y → −∞ khi x → 1⁻ và y → +∞ khi x → 1⁺. Hai đầu: y → −∞ khi x → −∞, y → +∞ khi x → +∞.
| x | −∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | − | || | − | 0 | + | ||
| y | −∞ | ↗ | −1 | ↘ | −∞ || +∞ | ↘ | 3 | ↗ | +∞ |
Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên các khoảng (0; 1) và (1; 2). Cực đại tại x = 0 với yCĐ = −1, cực tiểu tại x = 2 với yCT = 3. Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu: điều này hoàn toàn bình thường, vì cực trị chỉ mang tính địa phương và hai điểm nằm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị. Tiệm cận xiên của đồ thị là y = x.
Những lỗi thường gặp khi lập bảng biến thiên
- Quên điểm không xác định ở dòng x. Với hàm phân thức, nghiệm của mẫu phải có mặt trong bảng và được đánh dấu ||.
- Nhận nghiệm của y’ nằm ngoài tập xác định. Điểm không thuộc D không thể là cực trị.
- Nhầm chiều mũi tên. y’ dương thì mũi tên đi lên, dù giá trị của y đang âm.
- Kết luận cực trị khi y’ không đổi dấu. Nghiệm kép của y’ (như y = x³ tại x = 0) không phải điểm cực trị.
- Viết hợp hai khoảng ở hai bên tiệm cận đứng. Hàm nhất biến đơn điệu trên từng khoảng, không đơn điệu trên hợp của chúng.
Câu hỏi thường gặp
Bảng biến thiên gồm những dòng nào?
Bảng biến thiên gồm ba dòng. Dòng x ghi các mốc tăng dần từ âm vô cực đến dương vô cực. Dòng y phẩy ghi dấu của đạo hàm, số 0 tại nghiệm và hai vạch song song tại điểm không xác định. Dòng y ghi mũi tên biến thiên cùng giá trị cực trị và các giới hạn.
Làm sao xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến từ bảng biến thiên?
Trên khoảng mà y phẩy mang dấu cộng, mũi tên đi lên và hàm số đồng biến. Trên khoảng mà y phẩy mang dấu trừ, mũi tên đi xuống và hàm số nghịch biến. Kết luận theo từng khoảng, không lấy hợp các khoảng nằm hai bên điểm không xác định.
Khi nào một nghiệm của y phẩy bằng 0 không phải là cực trị?
Khi đạo hàm không đổi dấu lúc đi qua nghiệm đó, thường là nghiệm kép. Ví dụ y bằng x mũ 3 có y phẩy bằng 3x bình phương, bằng 0 tại x bằng 0 nhưng luôn không âm, nên hàm số đồng biến trên R và không có cực trị.
Hai vạch song song trong bảng biến thiên có ý nghĩa gì?
Hai vạch song song đánh dấu giá trị x không thuộc tập xác định, thường là nghiệm của mẫu số. Hai bên vạch ghi giới hạn một bên của hàm số, thường là dương vô cực hoặc âm vô cực khi đường thẳng đó là tiệm cận đứng.
Hàm nhất biến có cực trị không?
Hàm nhất biến y bằng (ax + b) chia (cx + d) với ad trừ bc khác 0 không có cực trị. Đạo hàm bằng (ad − bc) chia (cx + d) bình phương, luôn cùng dấu với ad − bc, nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.