Công Cụ Tính Giao, Hợp, Hiệu & Phần Bù Hai Tập Hợp – Liệt Kê, Khoảng, Đoạn Trên Trục Số

October 18, 2026October 18, 2026 admin 10 Views

Công Cụ Phép Toán Tập Hợp Đa Năng (Giao, Hợp, Hiệu, Phần Bù) A ∩ B, A ∪ B

Chọn chế độ: tập hợp liệt kê phần tử (vẽ biểu đồ Ven) hoặc khoảng, đoạn, nửa khoảng trên tập số thực ℝ (vẽ trục số có gạch bỏ phần không thuộc tập hợp). Lời giải từng bước theo SGK Toán 10.

Công cụ phía trên thực hiện bốn phép toán cơ bản trên hai tập hợp số thực: giao, hợp, hiệu và phần bù, với hai chế độ:

Phần tử rời rạc & Biểu đồ Ven: nhập các phần tử của A và B (số nguyên, số thập phân hoặc phân số), công cụ tự bỏ phần tử lặp, sắp xếp tăng dần, vẽ biểu đồ Ven và trình bày lời giải năm bước.
Khoảng, Đoạn & Trục số thực: nhập A, B dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng như [−4; 1], [1; +∞), chọn phép toán A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, C_ℝA hoặc C_ℝB. Công cụ vẽ ba trục số có gạch bỏ phần không thuộc tập hợp và trình bày lời giải bốn bước đúng cách viết của SGK Toán 10.

Tập hợp và cách cho một tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Nếu a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A; nếu a không thuộc A, ta viết a ∉ A. Có hai cách cho một tập hợp:

Liệt kê các phần tử giữa hai dấu ngoặc nhọn, ví dụ A = {−3; 0; 1,5; 2}. Mỗi phần tử chỉ viết một lần, thứ tự không quan trọng.
Chỉ ra tính chất đặc trưng, ví dụ B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}.

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅. Số phần tử của tập hữu hạn A được ký hiệu là n(A).

Tập con và hai tập hợp bằng nhau

Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì A là tập con của B, viết A ⊂ B (hoặc A ⊆ B):

A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Hai tập hợp A và B bằng nhau, viết A = B, khi A ⊂ B và B ⊂ A. Với mọi tập A ta luôn có ∅ ⊂ A và A ⊂ A.

Các phép toán trên tập hợp (SGK Toán 10)

Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A ∩ B:

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}

Nếu A ∩ B = ∅, ta nói A và B là hai tập hợp rời nhau.

Phép hợp

Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu A ∪ B. Phần tử chung chỉ được viết một lần:

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}

Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A \ B:

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}

Phép hiệu không có tính giao hoán: nói chung A \ B ≠ B \ A.

Phần bù

Khi B ⊂ A, hiệu A \ B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu C_AB:

C_A B = A \ B (với B ⊂ A)

Trong một bài toán, các tập hợp thường cùng nằm trong một tập hợp mẹ U (còn gọi là tập vũ trụ). Khi đó C_UA = U \ A gồm các phần tử của U không thuộc A. Nếu bạn không chọn tập mẹ, công cụ lấy U = A ∪ B, nên C_UA = B \ A và C_UB = A \ B.

Biểu đồ Ven và ý nghĩa

Biểu đồ Ven biểu diễn mỗi tập hợp bằng một vòng kín, tập mẹ U bằng một hình chữ nhật bao ngoài. Hai hình tròn A và B cắt nhau chia mặt phẳng thành bốn vùng, mỗi vùng ứng với một phép toán:

Vùng chỉ thuộc A (màu xanh): các phần tử của A \ B.
Vùng giữa (màu pha trộn): các phần tử của A ∩ B.
Vùng chỉ thuộc B (màu cam): các phần tử của B \ A.
Vùng ngoài hai hình tròn: các phần tử của U không thuộc A ∪ B, tức là C_U(A ∪ B).

Hợp A ∪ B là toàn bộ phần bên trong hai hình tròn. Nhờ biểu đồ Ven, học sinh nhìn thấy ngay ba tập A \ B, A ∩ B, B \ A đôi một rời nhau và ghép lại thành A ∪ B.

Công thức đếm số phần tử

Khi cộng n(A) với n(B), các phần tử của A ∩ B bị đếm hai lần, nên phải trừ đi một lần:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B)

Ví dụ: lớp 10A có 25 học sinh thích Toán, 20 học sinh thích Văn và 10 học sinh thích cả hai môn. Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là 25 + 20 − 10 = 35.

Tính chất cần nhớ

Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A.
Với tập rỗng: A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A \ ∅ = A.
Nếu B ⊂ A thì A ∩ B = B và A ∪ B = A.
Công thức De Morgan: C_U(A ∪ B) = C_UA ∩ C_UB và C_U(A ∩ B) = C_UA ∪ C_UB.
Hiệu viết qua phần bù: A \ B = A ∩ C_UB.

4 ví dụ mẫu

Bấm nút Ví Dụ Mẫu trong công cụ hoặc nhập đúng các phần tử dưới đây để đối chiếu từng bước.

Ví dụ 1. Hai tập có phần tử chung

Cho A = {−3; 0; 1,5; 2; 5; 8} và B = {0; 2; 4; 5; 9; 10}. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.

Các phần tử chung của A và B là 0, 2 và 5, nên A ∩ B = {0; 2; 5}. Gộp hai tập và viết phần tử chung một lần:

A ∪ B = {−3; 0; 1,5; 2; 4; 5; 8; 9; 10}

Kiểm tra: n(A ∪ B) = 6 + 6 − 3 = 9. Bỏ các phần tử chung khỏi từng tập: A \ B = {−3; 1,5; 8} và B \ A = {4; 9; 10}.

Ví dụ 2. Phần bù của tập con

Cho A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và B = {2; 4; 6}. Chứng tỏ B ⊂ A và tìm C_AB.

Mọi phần tử 2, 4, 6 của B đều thuộc A nên B ⊂ A. Khi đó A ∩ B = B, A ∪ B = A, B \ A = ∅ và:

C_A B = A \ B = {1; 3; 5}

Trên biểu đồ Ven, vùng chỉ thuộc B không có phần tử nào.

Ví dụ 3. Phần bù trong tập mẹ U

Cho U = {0; 1; 2; …; 9}, A là tập các số chẵn và B là tập các bội của 3 trong U: A = {0; 2; 4; 6; 8}, B = {0; 3; 6; 9}. Tìm C_UA, C_UB và kiểm tra công thức De Morgan.

Ta có A ∩ B = {0; 6}, A ∪ B = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9}. Phần bù trong U:

C_U A = {1; 3; 5; 7; 9}, C_U B = {1; 2; 4; 5; 7; 8}

Giao của hai phần bù là {1; 5; 7}, đúng bằng các phần tử của U nằm ngoài hai hình tròn: C_U(A ∪ B) = C_UA ∩ C_UB = {1; 5; 7}.

Ví dụ 4. Phân số, số thập phân và phần tử lặp

Nhập A = {−2,5; 1/2; 3; 0,5; 7} và B = {0,5; 3; 4; −1}.

Vì 0,5 = 1/2, tập A thực chất chỉ có bốn phần tử: A = {−2,5; 1/2; 3; 7}, n(A) = 4. Sắp xếp B: B = {−1; 0,5; 3; 4}, n(B) = 4. Suy ra:

A ∩ B = {1/2; 3}, A ∪ B = {−2,5; −1; 1/2; 3; 4; 7}

Kiểm tra: n(A ∪ B) = 4 + 4 − 2 = 6. Hai hiệu: A \ B = {−2,5; 7}, B \ A = {−1; 4}.

Khoảng, đoạn, nửa khoảng trên tập số thực ℝ

Trong chương trình Toán 10, các tập con thường gặp của tập số thực ℝ được viết gọn bằng ký hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Với hai số thực a < b:

Tên gọi	Ký hiệu	Tính chất đặc trưng	Đầu mút
Khoảng	(a; b)	{x ∈ ℝ \| a < x < b}	Bỏ cả a và b
Đoạn	[a; b]	{x ∈ ℝ \| a ≤ x ≤ b}	Lấy cả a và b
Nửa khoảng	[a; b)	{x ∈ ℝ \| a ≤ x < b}	Lấy a, bỏ b
Nửa khoảng	(a; b]	{x ∈ ℝ \| a < x ≤ b}	Bỏ a, lấy b
Khoảng	(a; +∞)	{x ∈ ℝ \| x > a}	Bỏ a
Nửa khoảng	[a; +∞)	{x ∈ ℝ \| x ≥ a}	Lấy a
Khoảng	(−∞; b)	{x ∈ ℝ \| x < b}	Bỏ b
Nửa khoảng	(−∞; b]	{x ∈ ℝ \| x ≤ b}	Lấy b
Khoảng	(−∞; +∞) = ℝ	Mọi số thực x	Không có đầu mút

Ký hiệu −∞ đọc là âm vô cực, +∞ đọc là dương vô cực. Vô cực không phải là một số, nên phía vô cực luôn dùng ngoặc tròn: viết [1; +∞), không viết [1; +∞]. Trong công cụ, bạn có thể gõ +inf, -inf, +oo, -oo hoặc bấm phím +∞, −∞.

Quy tắc biểu diễn tập hợp trên trục số

Vẽ trục số nằm ngang, mũi tên hướng sang phải (chiều tăng của số thực), đánh dấu các đầu mút theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Tại đầu mút được lấy (ứng với dấu ≤ hoặc ≥) dùng ngoặc vuông [ hoặc ]; tại đầu mút bị bỏ (ứng với dấu < hoặc >) dùng ngoặc tròn ( hoặc ). Ngoặc quay mặt về phía phần được giữ lại.
Gạch bỏ (tô gạch chéo ////) các phần không thuộc tập hợp. Phần còn lại, không bị gạch, chính là tập hợp cần biểu diễn.

Khi làm phép toán trên hai tập, ta vẽ hai trục số cho A và B thẳng hàng nhau, rồi vẽ trục số thứ ba cho kết quả. Với phép giao, phần không bị gạch trên cả hai trục là A ∩ B; với phép hợp, phần không bị gạch trên ít nhất một trục là A ∪ B.

Giao, hợp, hiệu và phần bù của các khoảng

Giao A ∩ B: mút trái là số lớn hơn trong hai mút trái, mút phải là số nhỏ hơn trong hai mút phải. Một đầu mút được lấy khi nó thuộc cả A và B. Nếu mút trái lớn hơn mút phải thì A ∩ B = ∅.
Hợp A ∪ B: nếu A và B giao nhau hoặc nối tiếp nhau (như (−2; 4] và [4; 7]) thì gộp thành một khoảng từ mút trái nhỏ nhất đến mút phải lớn nhất; nếu rời nhau thì giữ nguyên dạng hợp. Một đầu mút được lấy khi nó thuộc A hoặc thuộc B.
Hiệu A \ B: bỏ khỏi A phần chung với B, tức là A \ B = A ∩ C_ℝB. Tại điểm cắt, ngoặc đổi trạng thái: đầu mút thuộc B (ngoặc vuông) bị loại nên thành ngoặc tròn, đầu mút không thuộc B (ngoặc tròn) được giữ lại nên thành ngoặc vuông.
Phần bù C_ℝA = ℝ \ A: lấy các phần trục số nằm ngoài A và đảo dấu ngoặc tại mỗi đầu mút. Với a < b:

C_ℝ[a; b] = (−∞; a) ∪ (b; +∞), C_ℝ[a; b) = (−∞; a) ∪ [b; +∞)

C_ℝ(a; +∞) = (−∞; a], C_ℝ(−∞; b] = (b; +∞)

Ví dụ với khoảng, đoạn và trục số

Chuyển công cụ sang chế độ Khoảng, Đoạn & Trục số thực, nhập đúng các tập dưới đây và chọn phép toán tương ứng để xem ba trục số cùng lời giải bốn bước.

Ví dụ 5. Giao và hợp của hai đoạn, nửa khoảng

Cho A = [−4; 1] và B = [0; 3). Tìm A ∩ B và A ∪ B.

Ta có A = {x ∈ ℝ | −4 ≤ x ≤ 1}, B = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 3}. Các đầu mút xếp theo thứ tự: −4 < 0 < 1 < 3. Mút trái của giao là max(−4; 0) = 0, mút phải là min(1; 3) = 1; cả 0 và 1 đều thuộc A và B nên dùng ngoặc vuông:

A ∩ B = [0; 1], A ∪ B = [−4; 3)

Hai tập giao nhau nên hợp gộp thành một nửa khoảng; số 3 không thuộc A, không thuộc B nên giữ ngoặc tròn.

Ví dụ 6. Hiệu của hai tập và quy tắc đổi ngoặc

Cho A = [−3; 5) và B = (1; 2]. Tìm A \ B và B \ A.

Phần bù của B là C_ℝB = (−∞; 1] ∪ (2; +∞). Bỏ khỏi A phần chung với B:

A \ B = A ∩ C_ℝB = [−3; 1] ∪ (2; 5)

Tại 1: B mở ở 1 nên 1 ∉ B, số 1 được giữ lại và đổi thành ngoặc vuông. Tại 2: 2 ∈ B nên bị loại, đổi thành ngoặc tròn. Mọi số của B đều thuộc A (B ⊂ A) nên B \ A = ∅.

Ví dụ 7. Phần bù trong ℝ và hợp của hai tập rời nhau

Cho A = [1; +∞) và B = (−∞; 0). Tìm C_ℝA, C_ℝB và A ∪ B.

Đảo ngoặc tại đầu mút: C_ℝA = (−∞; 1), C_ℝB = [0; +∞). Giữa B và A có khe hở [0; 1) nên hai tập rời nhau, hợp giữ nguyên dạng:

A ∪ B = (−∞; 0) ∪ [1; +∞) = C_ℝ[0; 1)

Các dạng bài tập thực hành

Dạng 1. Viết tập hợp dưới dạng khoảng, đoạn. Viết A = {x ∈ ℝ | −2 < x ≤ 5} và B = {x ∈ ℝ | x ≥ 3}. Đáp số: A = (−2; 5], B = [3; +∞).
Dạng 2. Tìm giao, hợp. Cho A = (−∞; 3), B = [−1; 6]. Đáp số: A ∩ B = [−1; 3), A ∪ B = (−∞; 6].
Dạng 3. Tìm hiệu. Cho A = [0; 8], B = (2; 5). Đáp số: A \ B = [0; 2] ∪ [5; 8], B \ A = ∅.
Dạng 4. Tìm phần bù. Cho A = (−3; 4]. Đáp số: C_ℝA = (−∞; −3] ∪ (4; +∞).
Dạng 5. Tìm tham số để A ⊂ B. Cho A = [m; m + 2], B = (1; 5). A ⊂ B khi 1 < m và m + 2 < 5, tức là 1 < m < 3.
Dạng 6. Tìm tham số để A ∩ B ≠ ∅. Cho A = (−∞; m), B = [2; +∞). A ∩ B ≠ ∅ khi và chỉ khi m > 2.

Nhập các tập ở dạng 2, 3, 4 vào công cụ để kiểm tra đáp số và xem cách gạch bỏ trên trục số.

Những lỗi thường gặp

Viết phần tử chung hai lần trong A ∪ B. Mỗi phần tử của một tập hợp chỉ được liệt kê một lần.
Nhầm A \ B với B \ A. A \ B lấy phần tử của A, bỏ đi những phần tử cũng thuộc B.
Viết C_AB khi B không phải tập con của A. Ký hiệu phần bù chỉ dùng khi B ⊂ A; trường hợp còn lại chỉ viết A \ B.
Coi 0,5 và 1/2 là hai phần tử khác nhau. Chúng là cùng một số thực.
Quên tập rỗng. Khi hai tập không có phần tử chung, kết quả là A ∩ B = ∅, không phải “không có giao”.
Dùng ngoặc vuông ở vô cực, như [1; +∞]. Vô cực không phải là số nên luôn dùng ngoặc tròn.
Quên đổi ngoặc khi lấy phần bù hoặc hiệu. C_ℝ[a; b) = (−∞; a) ∪ [b; +∞), không phải (−∞; a] ∪ (b; +∞).
Gộp hai khoảng không nối tiếp. [1; 2) ∪ (2; 3] khác [1; 3] vì số 2 không thuộc tập nào.

Câu hỏi thường gặp

Giao và hợp của hai tập hợp khác nhau thế nào?

Giao A ∩ B chỉ gồm các phần tử thuộc cả A và B. Hợp A ∪ B gồm mọi phần tử thuộc A hoặc thuộc B, phần tử chung viết một lần. Vì vậy giao luôn là tập con của hợp.

A \ B và B \ A có bằng nhau không?

Nói chung là không. A \ B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B, còn B \ A gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Hai hiệu chỉ bằng nhau khi A = B, lúc đó cả hai đều là tập rỗng.

Khi nào dùng ký hiệu phần bù C_A B?

Ký hiệu C_A B chỉ dùng khi B là tập con của A, khi đó C_A B = A \ B. Nếu B không phải tập con của A thì chỉ viết hiệu A \ B. Phần bù trong tập mẹ U là C_U A = U \ A.

Công thức tính số phần tử của A ∪ B là gì?

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Phải trừ n(A ∩ B) vì các phần tử chung đã được đếm hai lần khi cộng n(A) với n(B). Công cụ luôn kiểm tra lại kết quả bằng công thức này.

Có nhập được phân số và số thập phân dùng dấu phẩy không?

Có. Công cụ nhận số nguyên, số thập phân như -2.5 hoặc -2,5 và phân số như 1/2, -3/4. Khi dùng dấu phẩy thập phân, hãy ngăn cách các phần tử bằng dấu chấm phẩy hoặc dấu cách. Các giá trị bằng nhau như 0,5 và 1/2 được tính là một phần tử.

Khoảng, đoạn và nửa khoảng khác nhau thế nào?

Khoảng (a; b) bỏ cả hai đầu mút, đoạn [a; b] lấy cả hai đầu mút, nửa khoảng [a; b) hoặc (a; b] chỉ lấy một đầu mút. Trên trục số, ngoặc vuông là lấy đầu mút, ngoặc tròn là bỏ đầu mút, và phía vô cực luôn dùng ngoặc tròn.

Tìm phần bù của một khoảng trong ℝ như thế nào?

C_ℝA = ℝ \ A gồm các số thực không thuộc A: lấy các phần trục số nằm ngoài A và đảo dấu ngoặc tại mỗi đầu mút, ví dụ C_ℝ[−4; 1] = (−∞; −4) ∪ (1; +∞). Chế độ Khoảng, Đoạn & Trục số thực của công cụ tính và vẽ trục số cho cả phần bù.