Công Cụ Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn – Có Lời Giải Chi Tiết
Nhập sáu hệ số của hệ a₁x + b₁y = c₁ và a₂x + b₂y = c₂. Công cụ tính định thức Cramer, rồi đối chiếu với phương pháp thế và cộng đại số.
Máy tính phía trên giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức Cramer, rồi giải thích cùng một kết quả theo phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. Mỗi định thức D, Dₓ, Dᵧ đều được thay số từng bước.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ cần giải có dạng:
Mỗi phương trình biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, nếu giao điểm đó tồn tại và duy nhất.
Định thức Cramer
Lập ba định thức:
Dₓ lấy từ D bằng cách thay cột hệ số của x bằng cột hệ số tự do. Dᵧ thay cột hệ số của y.
- D ≠ 0: nghiệm duy nhất x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D.
- D = 0 và Dx hoặc Dy khác 0: vô nghiệm. Hai đường thẳng song song hoặc hai phương trình mâu thuẫn.
- D = Dx = Dy = 0: vô số nghiệm. Hai phương trình cùng mô tả một đường thẳng, hoặc cả hai đều là 0 = 0.
Phương pháp cộng đại số
Nhân phương trình (1) với b₂, nhân phương trình (2) với b₁, rồi trừ theo vế để khử y. Hệ số còn lại của x đúng bằng D, vế phải đúng bằng Dₓ:
Làm tương tự để khử x, ta được D·y = Dᵧ. Vì vậy phương pháp cộng đại số và công thức Cramer là cùng một dãy phép tính, chỉ khác cách trình bày.
Phương pháp thế
Chọn một phương trình có hệ số của x khác 0, rút:
Thế biểu thức này vào phương trình còn lại để được một phương trình chỉ còn y. Giải ra y, rồi thay ngược lại để tìm x. Nếu tính đúng, kết quả trùng với x = Dₓ/D và y = Dᵧ/D.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Nghiệm duy nhất
Giải hệ x + y = 3 và x − y = 1.
Thử lại: 2 + 1 = 3 và 2 − 1 = 1. Cộng hai phương trình cũng ra 2x = 4, đúng với cách khử y.
Ví dụ 2. Vô số nghiệm
Giải hệ x + y = 2 và 2x + 2y = 4. Phương trình thứ hai bằng 2 lần phương trình thứ nhất.
Hệ có vô số nghiệm, nằm trên đường thẳng y = 2 − x với x thuộc ℝ.
Ví dụ 3. Vô nghiệm
Giải hệ x + y = 1 và 2x + 2y = 5.
Nhân phương trình thứ nhất với 2 được 2x + 2y = 2, trong khi phương trình thứ hai đòi 2x + 2y = 5. Hai mệnh đề mâu thuẫn, hệ vô nghiệm.
Những lỗi hay gặp
- Đảo thứ tự trừ ở định thức. D = a₁b₂ − a₂b₁. Viết nhầm thành a₂b₁ − a₁b₂ sẽ đổi dấu cả D, Dx, Dy và có thể vẫn ra nghiệm, nhưng dễ sai nếu chỉ đổi dấu một định thức.
- Quên xét D = 0. Không được chia cho D khi D bằng 0. Phải nhìn Dx và Dy để phân biệt vô nghiệm với vô số nghiệm.
- Nhầm Dx và Dy. Dx thay cột x. Dy thay cột y. Cột còn lại giữ nguyên hệ số của ẩn kia.
- Thế thiếu dấu ngoặc. Khi rút x = (c − by)/a, cả tử phải nằm trong ngoặc trước khi nhân vào phương trình kia.
Câu hỏi thường gặp
Định thức D cho biết điều gì về hệ hai ẩn?
D = a1 nhân b2 trừ a2 nhân b1. Nếu D khác 0, hệ có đúng một nghiệm. Nếu D bằng 0, hệ hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm, cần xét thêm Dx và Dy.
Khi nào hệ vô nghiệm?
Khi D bằng 0 nhưng Dx khác 0 hoặc Dy khác 0. Phép khử ẩn dẫn tới mệnh đề 0 bằng một số khác 0, nên hai phương trình mâu thuẫn.
Khi nào hệ có vô số nghiệm?
Khi D, Dx và Dy cùng bằng 0. Hai phương trình cùng mô tả một đường thẳng, hoặc cả hai đều là mệnh đề 0 = 0.
Phương pháp Cramer và phương pháp cộng đại số liên hệ thế nào?
Cộng đại số nhân từng phương trình với một hệ số rồi trừ theo vế để khử một ẩn. Các tích đó chính là D, Dx và Dy. Khi D khác 0 thì x = Dx/D và y = Dy/D.
Có dùng phương pháp thế được không?
Có. Rút một ẩn từ phương trình này, thế vào phương trình kia, rồi giải phương trình một ẩn vừa nhận được. Nếu làm đúng, nghiệm trùng với kết quả của định thức Cramer.