Công Cụ Giải Phương Trình Bậc 2 Từng Bước – Có Lời Giải Chi Tiết

Máy tính phía trên giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 theo đúng trình tự sách giáo khoa: xác định hệ số, tính biệt thức Δ, rồi biện luận nghiệm. Mỗi bước đều hiện công thức và phép thay số, kể cả dạng căn thức và dạng thập phân làm tròn 2 chữ số.

Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng tổng quát:

trong đó a, b, c là các số đã biết (số thực) và a ≠ 0. a là hệ số của x², b là hệ số của x, c là hệ số tự do. Nếu a = 0, phương trình không còn là bậc hai; lúc đó phải giải như phương trình bậc nhất bx + c = 0.

Nghiệm là các giá trị của x làm cho vế trái bằng 0. Trên tập số thực, một phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm kép, hoặc không có nghiệm nào.

Công thức nghiệm tổng quát

Để biện luận số nghiệm, ta tính biệt thức (còn gọi là delta):

Dấu của Δ quyết định kết quả:

• Δ < 0: phương trình vô nghiệm trên tập số thực ℝ. Căn của số âm không phải số thực, nên công thức nghiệm không cho ra giá trị thực.
• Δ = 0: phương trình có nghiệm kép x = −b / (2a). Hai nghiệm trùng nhau, nên tập nghiệm chỉ có một phần tử.
• Δ > 0: phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Quy ước thường dùng: x₁ lấy dấu cộng trước căn, x₂ lấy dấu trừ. Sau khi ra nghiệm, nên rút gọn phân số và đưa thừa số ra khỏi căn nếu có, rồi mới làm tròn dạng thập phân ở bước cuối.

Công thức nghiệm thu gọn với Δ’

Khi hệ số b chẵn, đặt b = 2b’. Biệt thức thu gọn là:

Hai biệt thức liên hệ với nhau bởi Δ = 4Δ’, nên chúng cùng dấu. Công thức nghiệm trở thành:

Cách này bớt một bước rút gọn mẫu số, rất tiện khi b chia hết cho 2. Nếu b lẻ thì không đặt b’, hãy quay lại công thức Δ thông thường.

Ví dụ với x² − 6x + 5 = 0, ta có b’ = −3 và Δ’ = 9 − 5 = 4. Do đó x = (3 ± 2)/1, tức x₁ = 5 và x₂ = 1.

Ba ví dụ mẫu

Bạn có thể nhập đúng các hệ số dưới đây vào máy tính đầu trang để đối chiếu từng bước.

Ví dụ 1. Hai nghiệm phân biệt là số nguyên

Giải x² − 5x + 6 = 0. Hệ số: a = 1, b = −5, c = 6.

Vì Δ > 0 và √1 = 1, ta có:

Tập nghiệm là S = {3; 2}. Thay lại: 3² − 5·3 + 6 = 0 và 2² − 5·2 + 6 = 0.

Ví dụ 2. Nghiệm ở dạng căn thức

Giải x² − 4x + 1 = 0. Hệ số: a = 1, b = −4, c = 1.

Dạng thập phân làm tròn 2 chữ số: x₁ ≈ 3,73 và x₂ ≈ 0,27. Dạng căn là giá trị đúng; dạng thập phân chỉ dùng để ước lượng hoặc đối chiếu trắc nghiệm.

Ví dụ 3. Biệt thức âm

Giải x² + x + 1 = 0. Hệ số: a = 1, b = 1, c = 1.

Vì Δ < 0, phương trình vô nghiệm trên ℝ. Tập nghiệm là tập rỗng. Ở chương trình phổ thông, ta dừng tại kết luận này và không khai triển sang số phức.

Những lỗi học sinh hay mắc

1. Quên xét a = 0. Nếu hệ số của x² bằng 0 thì không được dùng công thức nghiệm bậc hai. Phải chuyển sang bx + c = 0, và nhớ trường hợp b = 0: hoặc vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.
2. Bình phương sai số âm. (−3)² = 9, không phải −9. Luôn đặt dấu ngoặc khi bình phương một hệ số âm. Viết −3² nghĩa là −(3²) = −9.
3. Mất dấu ở −b. Nếu b = −5 thì −b = 5. Đây là chỗ dễ mất dấu nhất khi thay vào tử của công thức nghiệm.
4. Chia thiếu mẫu 2a. Phải chia cả tử cho 2a. Rút gọn chỉ được thực hiện sau khi đã viết đủ phân số.
5. Nhầm điều kiện của Δ. Δ = 0 là nghiệm kép, không phải vô nghiệm. Vô nghiệm thực chỉ khi Δ < 0.
6. Lẫn Δ và Δ’. Δ’ = b’² − ac chỉ dùng sau khi đã đặt b = 2b’. Không được tính Δ’ = b² − ac.
7. Làm tròn quá sớm. Hãy rút gọn căn và phân số trước. Số thập phân làm tròn 2 chữ số chỉ là bước kiểm tra cuối, không thay cho dạng chính xác.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình bậc hai có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

Tối đa hai nghiệm thực. Khi Δ > 0 có hai nghiệm phân biệt, khi Δ = 0 có một nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau), khi Δ < 0 không có nghiệm thực.

Delta âm có nghĩa là phương trình vô nghiệm không?

Trên tập số thực thì đúng: Δ < 0 nghĩa là vô nghiệm thực. Căn bậc hai của số âm không thuộc ℝ, nên không có giá trị thực nào thỏa mãn phương trình.

Khi nào nên dùng công thức Δ’?

Khi b chẵn, tức chia hết cho 2. Đặt b’ = b/2, tính Δ’ = b’² − ac, rồi x = (−b’ ± √Δ’) / a. Nếu b lẻ, dùng công thức Δ.

Nếu a = 0 thì máy tính xử lý thế nào?

Công cụ trên trang không áp dụng công thức bậc hai. Nó chuyển sang giải bx + c = 0: nếu b ≠ 0 thì x = −c/b; nếu b = 0 và c = 0 thì mọi số thực đều là nghiệm; nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Vì sao kết quả vừa có căn thức vừa có số thập phân?

Dạng căn thức (sau khi rút gọn) là giá trị đúng. Dạng thập phân làm tròn 2 chữ số giúp ước lượng nhanh khi đối chiếu đáp án trắc nghiệm hoặc kiểm tra lại bằng máy tính bỏ túi.

Công thức có dùng được khi hệ số là số thập phân không?

Có. Bạn nhập số thập phân bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy, ví dụ 0,5 hoặc 0.5. Máy tính quy đồng về phân số rồi rút gọn, nên các nghiệm đẹp vẫn hiện dưới dạng phân số hoặc căn thức gọn.