Công Cụ Giải Bất Phương Trình & Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Công cụ phía trên giải trọn hai dạng toán của Chương II “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” trong SGK Toán 10 (bộ Kết nối tri thức với cuộc sống):

• Bất phương trình đơn dạng ax + by ≤ c (hoặc ≥, <, >): công cụ vẽ đường thẳng bờ, chọn điểm kiểm tra M₀, thay tọa độ, kết luận nửa mặt phẳng nghiệm và gạch chéo phần bị loại trên hình.
• Hệ bất phương trình & bài toán tối ưu: nhập từ 2 đến 8 bất phương trình, công cụ xác định miền nghiệm chung, giải từng cặp đường thẳng để tìm đỉnh, lọc đỉnh thỏa mãn hệ, gọi tên miền tam giác, tứ giác… rồi (nếu bạn tích chọn) lập bảng giá trị F(x; y) = ax + by tại các đỉnh để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Hệ số có thể là số nguyên, số thập phân (2,5 hoặc 2.5) hay phân số (1/3); tọa độ đỉnh luôn được tính chính xác dưới dạng phân số tối giản. Bấm các nút ví dụ mẫu SGK để xem lời giải ngay, dùng nút Sao chép để dán lời giải vào Word hoặc In lời giải kèm hình vẽ.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Mỗi cặp số (x₀; y₀) làm cho bất đẳng thức thành mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm được gọi là miền nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ, với 2x + y < 200: cặp (50; 60) là một nghiệm vì 2·50 + 60 = 160 < 200; cặp (100; 10) không là nghiệm vì 2·100 + 10 = 210 > 200. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm, nên ta không liệt kê mà biểu diễn miền nghiệm bằng hình vẽ.

2. Định lý về nửa mặt phẳng bờ d

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng đó (không kể d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by > c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by < c.

Lý do: biểu thức f(x; y) = ax + by − c chỉ bằng 0 trên đường thẳng d. Khi đi từ một điểm đến một điểm khác cùng phía với d mà không cắt d, giá trị của f thay đổi liên tục và không đi qua 0, nên giữ nguyên dấu. Hệ quả quan trọng:

• Miền nghiệm của ax + by < c (hoặc > c) là một nửa mặt phẳng bờ d không kể đường thẳng d.
• Miền nghiệm của ax + by ≤ c (hoặc ≥ c) là một nửa mặt phẳng bờ d kể cả đường thẳng d.
• Chỉ cần thử một điểm M₀ không nằm trên d là biết toàn bộ nửa mặt phẳng nghiệm: nếu M₀ là nghiệm thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa M₀, ngược lại là nửa mặt phẳng không chứa M₀.

3. Bốn bước biểu diễn miền nghiệm (phương pháp điểm thử M₀)

1. Vẽ đường thẳng bờ d: ax + by = c. Cho y = 0 tìm giao điểm với trục Ox: x = c/a; cho x = 0 tìm giao điểm với trục Oy: y = c/b. Nếu c = 0, đường thẳng đi qua gốc O, cần lấy thêm một điểm khác, ví dụ (−b; a). Nếu b = 0 (hoặc a = 0), d song song với trục Oy (hoặc Ox).
2. Chọn điểm kiểm tra M₀(x₀; y₀) ∉ d. Khi c ≠ 0, chọn gốc tọa độ O(0; 0) vì tính toán nhanh nhất. Khi c = 0, d đi qua O nên chọn M₀(0; 1) hoặc M₀(1; 0).
3. Thay tọa độ M₀ vào biểu thức ax₀ + by₀ rồi so sánh với c.
4. Kết luận: nếu bất đẳng thức đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀; nếu sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa M₀. Theo quy ước SGK, ta gạch bỏ (gạch chéo) phần không phải miền nghiệm.

4. Phân tích chi tiết các ví dụ mẫu

Bấm đúng nút ví dụ trong tab Bất phương trình đơn để đối chiếu từng bước với lời giải dưới đây.

Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của x + y ≥ 100

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 đi qua A(100; 0) và B(0; 100). Dấu ≥ có dấu bằng nên vẽ d nét liền.

Bước 2. Vì c = 100 ≠ 0, chọn M₀ ≡ O(0; 0).

Bước 3. Thay vào vế trái: 0 + 0 = 0. Vì 0 ≥ 100 là mệnh đề sai nên O không là nghiệm.

Bước 4. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc O, kể cả bờ d (phần phía trên đường thẳng, tương đương y ≥ −x + 100).

Ví dụ 4. Biểu diễn miền nghiệm của 5x − 7y ≤ 0

Bước 1. Đường thẳng d: 5x − 7y = 0 có c = 0 nên đi qua gốc O. Cho x = 7 thì y = 5, nên d đi qua thêm điểm A(7; 5). Dấu ≤ nên vẽ nét liền.

Bước 2. Không thể chọn O vì O nằm trên d. Chọn M₀(0; 1); điểm này không thuộc d vì 5·0 − 7·1 = −7 ≠ 0.

Bước 3. Thay vào vế trái: 5·0 − 7·1 = −7. Vì −7 ≤ 0 đúng nên M₀ là nghiệm.

Bước 4. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M₀(0; 1), kể cả bờ d, tức là phần phía trên đường thẳng y = (5/7)x.

Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của 2x + y < 200

Đường thẳng d: 2x + y = 200 cắt Ox tại A(100; 0) và cắt Oy tại B(0; 200). Bất đẳng thức ngặt (dấu <) nên vẽ d bằng nét đứt. Thử O(0; 0): 2·0 + 0 = 0 < 200 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc O, không kể bờ d. Một điểm như (100; 0) nằm trên d nên không phải nghiệm, dù “sát” miền nghiệm.

Ví dụ 5. Bờ song song với trục tọa độ: −3x ≤ 6

Đây vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = −3, b = 0 (chỉ cần a, b không đồng thời bằng 0). Đường thẳng bờ d: −3x = 6, tức x = −2, song song với trục Oy. Thử O: −3·0 = 0 ≤ 6 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa O, kể cả bờ: phần bên phải đường thẳng x = −2, tương đương x ≥ −2. Lưu ý khi chia hai vế cho số âm −3 phải đổi chiều bất đẳng thức. Nhập a = −3, b = 0, c = 6 vào công cụ để xem hình.

5. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ. Do đó miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm (các nửa mặt phẳng) của từng bất phương trình.

Cách biểu diễn miền nghiệm của hệ:

1. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của từng bất phương trình và gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
2. Phần mặt phẳng không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Trong các bài toán thường gặp, đó là một miền đa giác lồi (tam giác, tứ giác…) hoặc một miền không bị chặn.
3. Tìm tọa độ các đỉnh: mỗi đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng bờ. Giải hệ hai phương trình bậc nhất của từng cặp đường thẳng, sau đó chỉ giữ lại các giao điểm thỏa mãn mọi bất phương trình của hệ. Công cụ trình bày đầy đủ bảng các cặp đường thẳng này, kể cả các cặp song song hay giao điểm bị loại.

Ví dụ 1 (tr.28). Miền tam giác OAB

Biểu diễn miền nghiệm của hệ

Miền nghiệm của x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy (kể cả Oy); của y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục Ox; của x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d₃: x + y = 150 chứa O (vì 0 ≤ 150 đúng). Giải từng cặp đường thẳng: Ox ∩ Oy = O(0; 0), Ox ∩ d₃ = A(150; 0), Oy ∩ d₃ = B(0; 150); cả ba điểm đều thỏa mãn hệ. Miền nghiệm là miền tam giác OAB, kể cả các cạnh.

Ví dụ 2 (tr.29). Hệ bất phương trình trong bài toán sản xuất

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Mỗi sản phẩm loại I cần 1 giờ trên máy M₁ và 3 giờ trên máy M₂; mỗi sản phẩm loại II cần 2 giờ trên M₁ và 1 giờ trên M₂. Mỗi ngày máy M₁ làm việc không quá 10 giờ, máy M₂ không quá 15 giờ. Gọi x, y là số sản phẩm loại I, II sản xuất trong một ngày, ta có hệ

Giải hệ của hai đường thẳng x + 2y = 10 và 3x + y = 15: từ phương trình thứ hai y = 15 − 3x, thay vào phương trình đầu được x + 30 − 6x = 10, nên x = 4, y = 3. Các giao điểm còn lại: O(0; 0), A(5; 0) (giao của Ox với 3x + y = 15), C(0; 5) (giao của Oy với x + 2y = 10). Giao điểm (10; 0) của Ox với x + 2y = 10 bị loại vì 3·10 + 0 = 30 > 15; giao điểm (0; 15) bị loại vì 0 + 2·15 = 30 > 10. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với B(4; 3).

6. Bài toán tối ưu: tìm GTLN, GTNN của F(x; y) = ax + by

Định lý (về đỉnh của miền đa giác). Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by, với (x; y) là tọa độ các điểm thuộc một miền đa giác lồi (kể cả biên), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Quy trình giải bài toán tối ưu (quy hoạch tuyến tính) trong SGK:

1. Gọi ẩn x, y, lập hệ bất phương trình ràng buộc và biểu thức mục tiêu F(x; y).
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ, tìm tọa độ các đỉnh.
3. Tính F tại từng đỉnh, so sánh để kết luận GTLN, GTNN và đỉnh đạt được.

Nếu miền nghiệm không bị chặn, cần kiểm tra thêm: khi miền nghiệm kéo dài vô hạn theo hướng làm F tăng thì F không có giá trị lớn nhất (tương tự với GTNN). Nếu hai đỉnh kề nhau cho cùng giá trị lớn nhất, F đạt giá trị đó tại mọi điểm trên cạnh nối hai đỉnh. Công cụ tự xử lý cả hai trường hợp này.

Ví dụ 3 (tr.30). Tối ưu lợi nhuận

Một hộ nông dân dự định trồng đậu và cà trên diện tích không quá 8 ha. Trồng 1 ha đậu cần 20 công và thu lãi 3 triệu đồng; trồng 1 ha cà cần 30 công và thu lãi 4 triệu đồng. Tổng số công không vượt quá 180. Cần trồng mỗi loại trên bao nhiêu ha để thu lãi nhiều nhất?

Gọi x, y (ha) là diện tích trồng đậu và cà. Ta cần tìm GTLN của F(x; y) = 3x + 4y (triệu đồng) trên miền nghiệm của hệ

Miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0; 0), A(8; 0), B(6; 2) (giao của x + y = 8 và 2x + 3y = 18), C(0; 6). Bảng giá trị:

F lớn nhất bằng 26 tại B(6; 2). Vậy cần trồng 6 ha đậu và 2 ha cà để thu lãi lớn nhất là 26 triệu đồng. Trong công cụ, bấm “Ví dụ 3: Tối ưu lợi nhuận F(x;y)” để xem bảng này, đỉnh B được khoanh màu xanh trên hình.

7. Bài tập 2.5 – Biểu diễn miền nghiệm (có đáp án)

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ, rồi nhập vào công cụ để kiểm tra:

1. y − 2x ≤ 2. Bờ −2x + y = 2 qua (−1; 0) và (0; 2), nét liền. Thử O: 0 ≤ 2 đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, kể cả bờ.
2. 2x + y > 4. Bờ qua (2; 0) và (0; 4), nét đứt. Thử O: 0 > 4 sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa O, không kể bờ.
3. x + 3y ≥ 0. c = 0 nên bờ qua O và (3; −1). Thử M₀(0; 1): 3 ≥ 0 đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa (0; 1), kể cả bờ.
4. 3x − 2y < 6. Bờ qua (2; 0) và (0; −3), nét đứt. Thử O: 0 < 6 đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, không kể bờ.

8. Những lỗi thường gặp

1. Nhầm nét vẽ: dùng nét liền cho dấu <, > hoặc nét đứt cho ≤, ≥. Điểm trên bờ chỉ là nghiệm khi có dấu bằng.
2. Chọn O làm điểm thử khi c = 0: O nằm trên bờ nên không cho biết phía nào là miền nghiệm. Hãy chọn (0; 1) hoặc (1; 0).
3. Gạch nhầm phía: SGK gạch bỏ phần không phải miền nghiệm; phần để trống mới là miền nghiệm.
4. Quên đổi chiều khi chia hai vế cho số âm để đưa về dạng y ≥ … hay x ≤ ….
5. Lấy giao điểm không thỏa mãn hệ làm đỉnh: mọi giao điểm phải được thử lại vào tất cả các bất phương trình.
6. Kết luận GTLN khi miền không bị chặn mà chưa kiểm tra F có tăng vô hạn hay không.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào vẽ đường thẳng bờ bằng nét liền, khi nào bằng nét đứt?

Bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥ thì các điểm trên bờ cũng là nghiệm, nên vẽ bờ bằng nét liền. Bất phương trình có dấu < hoặc > (bất đẳng thức ngặt) thì các điểm trên bờ không là nghiệm, nên vẽ bờ bằng nét đứt.

Vì sao thường chọn gốc tọa độ O làm điểm kiểm tra M₀?

Khi c ≠ 0, gốc O(0; 0) không nằm trên đường thẳng ax + by = c và việc thay tọa độ rất nhanh (vế trái bằng 0). Khi c = 0, đường thẳng đi qua O nên phải chọn điểm khác như M₀(0; 1) hoặc M₀(1; 0).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Là giao các miền nghiệm (các nửa mặt phẳng) của từng bất phương trình trong hệ. Trên hình, gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình; phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ, thường là một miền đa giác lồi.

Làm thế nào tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm?

Mỗi đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng bờ. Giải hệ hai phương trình của từng cặp đường thẳng, rồi thử lại giao điểm vào mọi bất phương trình của hệ; chỉ giao điểm thỏa mãn tất cả mới là đỉnh.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x; y) = ax + by như thế nào?

Trên một miền đa giác lồi, GTLN và GTNN của F = ax + by đạt tại các đỉnh. Tính F tại từng đỉnh rồi so sánh: giá trị lớn nhất là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN. Nếu miền nghiệm không bị chặn, F có thể không có GTLN hoặc GTNN; công cụ kiểm tra và thông báo cụ thể.

Công cụ xử lý thế nào khi hệ vô nghiệm hoặc nhập phân số?

Công cụ nhận số nguyên, số thập phân (2,5 hoặc 2.5) và phân số p/q; tọa độ đỉnh được tính chính xác dạng phân số tối giản. Khi không có điểm nào thỏa mãn mọi bất phương trình, công cụ kết luận hệ vô nghiệm và toàn bộ mặt phẳng trên hình đều bị gạch.