Công Cụ Tính Xác Suất Cổ Điển Trực Tuyến – Có Lời Giải
Tính theo định nghĩa, hoặc mô phỏng nhanh bài xúc xắc, đồng xu và chọn bi. Kết quả gồm phân số tối giản, số thập phân, phần trăm và xác suất biến cố đối.
Máy tính phía trên có hai cách làm. Tab định nghĩa nhận số kết quả thuận lợi n(A) và số phần tử của không gian mẫu n(Ω), rồi viết P(A) ở dạng phân số tối giản, số thập phân, phần trăm và xác suất biến cố đối. Tab bài toán kinh điển tự đếm n(Ω) và n(A) cho xúc xắc, đồng xu và chọn bi.
Phép thử, không gian mẫu và biến cố
Phép thử là một thí nghiệm có thể lặp lại, kết quả không biết trước khi làm. Gieo một xúc xắc, tung một đồng xu, rút một viên bi đều là phép thử.
Không gian mẫu Ω là tập mọi kết quả có thể xảy ra của phép thử. Với một xúc xắc cân đối, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, nên n(Ω) = 6.
Biến cố A là một tập con của Ω. Biến cố “ra mặt chẵn” là A = {2, 4, 6}, nên n(A) = 3. Biến cố chắc chắn là chính Ω. Biến cố rỗng không chứa kết quả nào.
Công thức xác suất cổ điển
Công thức này dùng khi Ω hữu hạn và mọi kết quả đơn đều có cùng khả năng xảy ra:
Máy tính rút gọn phân số bằng ước chung lớn nhất, rồi đổi ra số thập phân và phần trăm. Phân số tối giản là giá trị đúng. Nếu phép chia không dừng sau vài chữ số, dạng thập phân chỉ là xấp xỉ.
Các tính chất cần nhớ
- 0 ≤ P(A) ≤ 1, vì 0 ≤ n(A) ≤ n(Ω).
- P(Ω) = 1 và P(∅) = 0.
- Nếu A và B không cùng xảy ra thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Biến cố đối của A, ký hiệu Ā, gồm mọi kết quả không thuộc A. P(Ā) = 1 − P(A).
Trên hình, vùng ngoài hình tròn nhưng vẫn trong hình chữ nhật chính là Ā.
Ba dạng bài kinh điển
Gieo n con xúc xắc
Mỗi xúc xắc có 6 mặt và các xúc xắc độc lập, nên:
Với hai xúc xắc, n(Ω) = 36. Biến cố “tổng bằng 7” có 6 kết quả: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Vậy P = 6/36 = 1/6. Biến cố “có ít nhất một mặt 6” nên đếm bằng phần bù: lấy 6ⁿ trừ 5ⁿ.
Tung n đồng xu
Mỗi đồng có 2 mặt, nên n(Ω) = 2ⁿ. Số cách có đúng k mặt ngửa là tổ hợp Cₙᵏ, vì ta chọn k vị trí cho mặt ngửa.
Chọn bi không hoàn lại
Hộp có n bi trắng và m bi đen. Chọn k bi, không trả lại và không kể thứ tự. Không gian mẫu là tổ hợp của tổng số bi:
Số cách có đúng t bi trắng là Cₙᵗ × Cₘᵏ⁻ᵗ, miễn là hai chỉ số không âm và không vượt số bi từng màu. Nếu không ghép được bộ như vậy thì n(A) = 0.
Bài tập mẫu
Tab định nghĩa: nhập n(A) = 1 và n(Ω) = 6, đó là xác suất ra một mặt chỉ định của một xúc xắc. P(A) = 1/6, biến cố đối có xác suất 5/6.
Tab kinh điển, dạng xúc xắc: gieo 2 xúc xắc, tổng bằng 7. Kết quả là 6/36 = 1/6. Dạng đồng xu: tung 3 đồng, đúng 2 mặt ngửa, n(Ω) = 8 và n(A) = C₃² = 3, nên P(A) = 3/8. Dạng bi: 3 bi trắng, 2 bi đen, chọn 2 bi, đúng 1 bi trắng. n(Ω) = C₅² = 10, n(A) = C₃¹ × C₂¹ = 6, nên P(A) = 3/5.
Những lỗi hay gặp
- Dùng công thức cổ điển khi các kết quả không đồng khả năng. Xúc xắc lệch, hoặc gộp “tổng 2” với “tổng 7” thành hai biến cố rồi coi chúng bằng nhau, là sai. Phải liệt kê kết quả đơn đồng khả năng.
- Quên thứ tự khi gieo hai xúc xắc. (1,6) và (6,1) là hai kết quả khác nhau. Không gian mẫu có 36 phần tử, không phải 21.
- Lấy n(A) lớn hơn n(Ω). Tỉ số khi đó không còn là xác suất.
- Nhầm biến cố đối với biến cố độc lập. Biến cố đối là “A không xảy ra”, xác suất của nó cộng với P(A) luôn bằng 1.
Câu hỏi thường gặp
Xác suất cổ điển dùng được khi nào?
Khi phép thử có hữu hạn kết quả và các kết quả đơn đồng khả năng. Khi đó P(A) bằng số kết quả thuận lợi chia cho số phần tử của không gian mẫu.
Xác suất có thể lớn hơn 1 không?
Không. Số kết quả thuận lợi không vượt quá số phần tử của không gian mẫu, nên P(A) luôn nằm từ 0 đến 1.
Biến cố đối là gì?
Biến cố đối của A là biến cố A không xảy ra. Xác suất của nó bằng 1 trừ P(A), cũng bằng (n(Omega) – n(A)) / n(Omega).
Vì sao hai xúc xắc có không gian mẫu 36 phần tử?
Mỗi xúc xắc có 6 mặt và hai xúc xắc độc lập. Quy tắc nhân cho 6 nhân 6 bằng 36 kết quả đồng khả năng. Cặp (1,6) và (6,1) là hai kết quả khác nhau.
Chọn bi không hoàn lại tính bằng công thức nào?
Dùng tổ hợp. n(Omega) bằng C của tổng số bi chập k. Nếu biến cố đòi đúng t bi trắng thì n(A) bằng tích C_n^t và C_m^(k-t).