Công Cụ Tính Mặt Cầu, Khối Cầu & Phương Trình Mặt Cầu Oxyz
Tab hình cầu tính diện tích, thể tích và bán kính thiết diện. Tab Oxyz viết phương trình từ tâm–bán kính hoặc tìm lại tâm và bán kính từ phương trình khai triển.
Máy tính phía trên có hai tab. Tab hình cầu cổ điển tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu và bán kính đường tròn thiết diện khi một mặt phẳng cắt mặt cầu. Tab Oxyz dành cho lớp 12: viết phương trình từ tâm và bán kính, hoặc tìm lại tâm và bán kính từ phương trình khai triển.
Diện tích và thể tích
Nếu đề cho đường kính d thì R = d/2. Diện tích mặt cầu dùng R bình phương, thể tích dùng R lập phương, nên hai kết quả không bằng nhau trừ một vài bán kính đặc biệt.
Thiết diện bởi mặt phẳng
Mặt phẳng cách tâm một khoảng d. Nếu d nhỏ hơn R, giao tuyến là đường tròn bán kính
Nếu d = 0, mặt phẳng đi qua tâm và thiết diện là đường tròn lớn, r = R. Nếu d = R, mặt phẳng tiếp xúc và thiết diện suy về một điểm. Nếu d lớn hơn R, mặt phẳng không cắt mặt cầu.
Phương trình mặt cầu trong Oxyz
Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R > 0, gồm mọi điểm M(x; y; z) cách I đúng bằng R. Phương trình chính tắc:
Khai triển rồi chuyển R² sang vế trái được
với d = a² + b² + c² − R². Ngược lại, nếu đã có dạng này thì tâm là I(a; b; c) và
Điều kiện để có mặt cầu thực là a² + b² + c² − d > 0. Bằng 0 thì chỉ còn một điểm. Nhỏ hơn 0 thì không có điểm nào trong không gian thực.
Sách giáo khoa cũng viết phương trình tổng quát x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0. Khi đó a = −D/2, b = −E/2, c = −F/2 và hằng số d trong dạng chuẩn chính là G. Máy tính có riêng một lựa chọn cho dạng này.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Hình cầu
R = 5. Diện tích S = 100π. Thể tích V = 500π / 3. Mặt phẳng cách tâm d = 3 cho thiết diện bán kính 4, vì 5² − 3² = 16.
Ví dụ 2. Viết phương trình
Tâm I(1; −2; 3), bán kính 5.
Ví dụ 3. Đọc phương trình
Từ x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 11 = 0 suy ra a = 1, b = −2, c = 3, d = −11. Biểu thức 1 + 4 + 9 − (−11) = 25 > 0, nên R = 5 và tâm là I(1; −2; 3).
Những lỗi hay gặp
- Quên hệ số 4 hoặc 4/3. Diện tích mặt cầu là 4πR², không phải πR² của hình tròn.
- Đổi dấu tâm sai. Tâm (1; −2; 3) cho hạng tử −2x, +4y và −6z, vì hệ số của y là −2b = −2 × (−2) = 4.
- Khai căn khi biểu thức trong căn âm. Khi đó phương trình không phải mặt cầu thực.
Câu hỏi thường gặp
Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu khác nhau thế nào?
Diện tích mặt cầu bằng 4 pi R bình phương. Thể tích khối cầu bằng 4/3 pi R lập phương. Một đại lượng đo bề mặt, đại lượng kia đo phần không gian bên trong.
Mặt phẳng cắt mặt cầu khi nào?
Khi khoảng cách d từ tâm tới mặt phẳng nhỏ hơn bán kính R. Bán kính đường tròn thiết diện bằng căn của R bình phương trừ d bình phương.
Phương trình chính tắc của mặt cầu viết ra sao?
Nếu tâm là I(a; b; c) và bán kính là R thì (x − a) bình phương cộng (y − b) bình phương cộng (z − c) bình phương bằng R bình phương.
Từ phương trình khai triển làm sao tìm tâm và bán kính?
Với x bình phương cộng y bình phương cộng z bình phương trừ 2ax trừ 2by trừ 2cz cộng d bằng 0, tâm là I(a; b; c). Bán kính bằng căn của a bình phương cộng b bình phương cộng c bình phương trừ d, khi biểu thức này dương.
Biểu thức a bình phương cộng b bình phương cộng c bình phương trừ d âm thì sao?
Phương trình không biểu diễn mặt cầu thực. Nếu biểu thức bằng 0 thì tập nghiệm chỉ còn một điểm, tức mặt cầu suy biến bán kính 0.